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考点02 整式与因式分解-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版）
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这是一份考点02 整式与因式分解-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版），共17页。学案主要包含了解题技巧等内容，欢迎下载使用。
基础知识点：
知识点1-1整式的相关概念
1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
注意： eq \\ac(○,1)单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成； eq \\ac(○,2)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
4）单项式与多项式统称整式。
知识点1-2幂运算
1）同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2）幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3）积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4）同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
注：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
知识点1-3整式加减
1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
3)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号（添括号）法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
知识点1-4整式乘除
1）单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2）单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3）多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
5）完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
6）单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
7）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
知识点1-5 因式分解
1）定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
3）因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
重难点题型：
题型1、代数式求值
【解题技巧】求代数式的值分为三种：
（1）直接代入求值：往往先化简再求值.
（2）间接代入求值：根据已知条件，先求出未知数的值，再代入求值；
（3）整体代入求值：当未知数的值不易直接求解时，通常用整体代入法。
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若，则的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2020·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
3．（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．
4．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．
5．（四川内江·中考真题）若实数x满足，则= ．
6．（2020·江苏连云港·中考真题）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
7．（2019·黑龙江中考真题）已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．
8．（2020·江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
题型2、探索规律（代数类）
【解题技巧】此类题型分两部分找规律：
= 1 \* GB3 ①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或；
= 2 \* GB3 ②数字规律：数字规律需要视题目而确定；
eq \\ac(○,3)字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式；
eq \\ac(○,4)算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
（1）数字规律
1．（2020·湖北咸宁·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
2．（2020·四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
3．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
4．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式： 根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
5．（四川巴中·中考真题）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；的差倒数是；已知，是的差倒数，是的差倒数．是差倒数，…依此类推，则= ．
6．（2020·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
7．（2020·山东泰安·中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则
8．（2020·湖南娄底·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135B．153C．170D．189
（2）代数式规律
1．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·青海中考真题）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
3．（2018·山东滨州·中考真题）观察下列各式：
，，，……请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为_______．
4．（2019·西藏中考真题）观察下列式子
第个式子：
第个式子：
第个式子：……
请写出第个式子：_____．
5（2020·贵州铜仁·中考真题）观察下列等式：
2+22=23﹣2；
2+22+23=24﹣2；
2+22+23+24=25﹣2；
2+22+23+24+25=26﹣2；…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)．
6．（山西中考真题）一组按规律排列的式子：则第n个式子是 .
7．（2019·山东枣庄·中考真题）观察下列各式：，
，，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
题型4、幂的运算
解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
1．（2020·江苏镇江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（a3）2＝a6C．a6÷a2＝a3D．（ab）3＝ab3
2．（2020·江苏盐城·中考真题）下列运算正确的是：（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·江苏徐州·）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6 C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（2020·四川中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（3a）3 ＝9a3 C．3a﹣2a＝1 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
6．（2020·广西中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．x•x＝2xB．x+x＝2xC．（x3）3＝x6D．（2x）2＝2x2
7．（2020·甘肃兰州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( )
A．B．C．D．
题型5、利用同类项求参数
【解题技巧】（1）若告知某两个单项式为同类项，则这两个单项式的对应字母的次数相同；（2）若告知某个整式经过一系列变化后，结果为某个单项式，则该整式中与该单项式不是同类项的系数必为0.
1．（2020·湖北荆州·）若单项式与是同类项，则的值是_______________．
2．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
3．（2019·四川绵阳·中考真题）单项式与是同类项，则______．
4．（2020·广东中考真题）若与是同类项，则___________．
5．（2019·山东滨州·中考真题）若与的和是单项式，则的平方根为（ ）．
A．4B．8C．±4D．±8
6．（2019·湖南株洲·中考真题）下列各式中，与是同类项的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2018·广西河池·中考真题）下列单项式中，与3a2b为同类项的是（ ）
A． B．C．3abD．3
8．（2020·贵州黔南·中考真题）若与的和仍是一个单项式，则______．
题型6、平方差公式应用
【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．
1．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B． C．D．
2．（2020·江苏淮安·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205B．250C．502D．520
3．（2020·河北中考真题）若，则（ ）
A．12B．10C．8D．6
4．（2019·湖南湘潭·中考真题）若，，则_____．
5．（2019·贵州贵阳·中考真题）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则D．运用完全平方公式
6．（2020·黑龙江龙凤·初三模拟）=_______．
7．（2020·浙江衢州·中考真题）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
8．（浙江义乌·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
题型7、完全平方公式应用
【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
1．（2020·宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
2．（2020·河北沙河·初三零模）已知a+1＝20002+20022，计算＝_____．
3．（2020·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·四川资阳·中考真题）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·山东枣庄中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
6．（2019·四川新都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
7．（2018·贵州安顺·中考真题）若是关于的完全平方式，则__________．
8．（2020·内蒙古包头·初三二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．
9．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
题型8、整式混合运算
【解题技巧】（1）p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
（2）；（pa+pb+pc）÷p=a+b=c
注：多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。
1．（2018·河北中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
2．（2020·江苏南通·）计算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
3．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：，其中．
4．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
6．（2020·湖北随州）先化简，再求值：，其中，．
7．（2019·浙江宁波·中考真题）先化简，再求值：，其中.
8．（2019·湖北宜昌·中考真题）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
题型9、因式分解
【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．
1．（2020·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·河北中考真题）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
3．（2020·四川中考真题）把ax2﹣4a分解因式的结果是_____．
4．（2020·江苏无锡·中考真题）因式分解：__________．
5．（2020·辽宁丹东·中考真题）因式分解：_________．
6．（2020·吉林宽城·中考模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
7．（2019·黑龙江中考真题）分解因式：_________．
8．（广西百色·中考真题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.
（1）二次项系数；
（2）常数项验算：“交叉相乘之和”；
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： ．
题型10、因式分解的运用
【解题技巧】因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。
1.（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：①；②；
③；④．
2．（2020·重庆中考模拟）材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
3．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校初二期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
4．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．
5．（2020·江苏南通第一初中初二期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把带入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；（2）请你用“试根法”分解因式：.
6．（2020·浙江西湖·初一期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16B．﹣14C．﹣12D．﹣10
7．（重庆市兼善中学中考模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．201030B．201010C．301020D．203010
8．（2019·湖南常德·中考真题）若，则的值为_____．
基础知识点：
知识点1-1整式的相关概念
1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
注意： eq \\ac(○,1)单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成； eq \\ac(○,2)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
4）单项式与多项式统称整式。
知识点1-2幂运算
1）同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2）幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3）积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4）同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
注：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
知识点1-3整式加减
1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
3)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号（添括号）法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
知识点1-4整式乘除
1）单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2）单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3）多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
5）完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
6）单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
7）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
知识点1-5 因式分解
1）定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
3）因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
重难点题型：
题型1、代数式求值
【解题技巧】求代数式的值分为三种：
（1）直接代入求值：往往先化简再求值.
（2）间接代入求值：根据已知条件，先求出未知数的值，再代入求值；
（3）整体代入求值：当未知数的值不易直接求解时，通常用整体代入法。
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若，则的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2020·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
3．（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．
4．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．
5．（四川内江·中考真题）若实数x满足，则= ．
6．（2020·江苏连云港·中考真题）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
7．（2019·黑龙江中考真题）已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．
8．（2020·江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
题型2、探索规律（代数类）
【解题技巧】此类题型分两部分找规律：
= 1 \* GB3 ①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或；
= 2 \* GB3 ②数字规律：数字规律需要视题目而确定；
eq \\ac(○,3)字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式；
eq \\ac(○,4)算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
（1）数字规律
1．（2020·湖北咸宁·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
2．（2020·四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
3．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
4．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式： 根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
5．（四川巴中·中考真题）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；的差倒数是；已知，是的差倒数，是的差倒数．是差倒数，…依此类推，则= ．
6．（2020·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
7．（2020·山东泰安·中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则
8．（2020·湖南娄底·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135B．153C．170D．189
（2）代数式规律
1．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·青海中考真题）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
3．（2018·山东滨州·中考真题）观察下列各式：
，，，……请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为_______．
4．（2019·西藏中考真题）观察下列式子
第个式子：
第个式子：
第个式子：……
请写出第个式子：_____．
5（2020·贵州铜仁·中考真题）观察下列等式：
2+22=23﹣2；
2+22+23=24﹣2；
2+22+23+24=25﹣2；
2+22+23+24+25=26﹣2；…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)．
6．（山西中考真题）一组按规律排列的式子：则第n个式子是 .
7．（2019·山东枣庄·中考真题）观察下列各式：，
，，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
题型4、幂的运算
解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
1．（2020·江苏镇江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（a3）2＝a6C．a6÷a2＝a3D．（ab）3＝ab3
2．（2020·江苏盐城·中考真题）下列运算正确的是：（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·江苏徐州·）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6 C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（2020·四川中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（3a）3 ＝9a3 C．3a﹣2a＝1 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
6．（2020·广西中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．x•x＝2xB．x+x＝2xC．（x3）3＝x6D．（2x）2＝2x2
7．（2020·甘肃兰州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( )
A．B．C．D．
题型5、利用同类项求参数
【解题技巧】（1）若告知某两个单项式为同类项，则这两个单项式的对应字母的次数相同；（2）若告知某个整式经过一系列变化后，结果为某个单项式，则该整式中与该单项式不是同类项的系数必为0.
1．（2020·湖北荆州·）若单项式与是同类项，则的值是_______________．
2．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
3．（2019·四川绵阳·中考真题）单项式与是同类项，则______．
4．（2020·广东中考真题）若与是同类项，则___________．
5．（2019·山东滨州·中考真题）若与的和是单项式，则的平方根为（ ）．
A．4B．8C．±4D．±8
6．（2019·湖南株洲·中考真题）下列各式中，与是同类项的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2018·广西河池·中考真题）下列单项式中，与3a2b为同类项的是（ ）
A． B．C．3abD．3
8．（2020·贵州黔南·中考真题）若与的和仍是一个单项式，则______．
题型6、平方差公式应用
【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．
1．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B． C．D．
2．（2020·江苏淮安·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205B．250C．502D．520
3．（2020·河北中考真题）若，则（ ）
A．12B．10C．8D．6
4．（2019·湖南湘潭·中考真题）若，，则_____．
5．（2019·贵州贵阳·中考真题）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则D．运用完全平方公式
6．（2020·黑龙江龙凤·初三模拟）=_______．
7．（2020·浙江衢州·中考真题）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
8．（浙江义乌·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
题型7、完全平方公式应用
【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
1．（2020·宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
2．（2020·河北沙河·初三零模）已知a+1＝20002+20022，计算＝_____．
3．（2020·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·四川资阳·中考真题）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·山东枣庄中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
6．（2019·四川新都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
7．（2018·贵州安顺·中考真题）若是关于的完全平方式，则__________．
8．（2020·内蒙古包头·初三二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．
9．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
题型8、整式混合运算
【解题技巧】（1）p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
（2）；（pa+pb+pc）÷p=a+b=c
注：多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。
1．（2018·河北中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
2．（2020·江苏南通·）计算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
3．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：，其中．
4．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
6．（2020·湖北随州）先化简，再求值：，其中，．
7．（2019·浙江宁波·中考真题）先化简，再求值：，其中.
8．（2019·湖北宜昌·中考真题）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
题型9、因式分解
【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．
1．（2020·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·河北中考真题）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
3．（2020·四川中考真题）把ax2﹣4a分解因式的结果是_____．
4．（2020·江苏无锡·中考真题）因式分解：__________．
5．（2020·辽宁丹东·中考真题）因式分解：_________．
6．（2020·吉林宽城·中考模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
7．（2019·黑龙江中考真题）分解因式：_________．
8．（广西百色·中考真题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.
（1）二次项系数；
（2）常数项验算：“交叉相乘之和”；
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： ．
题型10、因式分解的运用
【解题技巧】因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。
1.（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：①；②；
③；④．
2．（2020·重庆中考模拟）材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
3．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校初二期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
4．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．
5．（2020·江苏南通第一初中初二期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把带入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；（2）请你用“试根法”分解因式：.
6．（2020·浙江西湖·初一期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16B．﹣14C．﹣12D．﹣10
7．（重庆市兼善中学中考模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．201030B．201010C．301020D．203010
8．（2019·湖南常德·中考真题）若，则的值为_____．
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