数学必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算教案

*10.3　复数的三角形式及其运算

情境导学

1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值

一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，

根据任意角余弦、正弦的定义可知

cos θ＝，sin θ＝.

因此a＝rcos θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcos θ)＋(rsin θ)i＝r(cos θ＋isin θ)，

上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．

显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.

2．复数三角形式的乘、除运算

若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则

(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2)

＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．

(2)＝

＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．

(3)[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)复数的辐角是唯一的．  (　　)

(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式． (　　)

(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式． (　　)

(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π. (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．复数z＝1＋i的三角形式为z＝________.

　[r＝，cos θ＝＝，

又因为1＋i对应的点位于第一象限，

所以arg(1＋i)＝.

所以z＝.]

3．复数6的代数形式为________．

6i　[6＝6cos＋6isin＝6i.]

4．计算：(1)6×4＝________；

(2)6÷4＝________.

(1)24i　(2)＋i　[(1)6×4

＝24

＝24i.

(2)6÷4

＝

＝

＝＋i.]

合作探究

角度1　代数形式化为三角形式

【例1】　把下列复数的代数形式化成三角形式：

(1)＋i；

(2)－i.

[解]　(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，

所以cos θ＝，即θ＝，

所以＋i＝2.

(2)r＝＝2，cos θ＝，

又因为－i对应的点位于第四象限，

所以θ＝.

所以－i＝2.

复数的代数形式化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模．

(2)决定辐角所在的象限．

(3)根据象限求出辐角．

(4)求出复数的三角形式．

提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．

角度2　三角形式化为代数形式

【例2】　分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式．

(1)4；

(2)(cos 60°＋isin 60°)；

(3)2.

[解]　(1)复数4的模r＝4，辐角主值为θ＝.

4＝4cos＋4isin

＝4×＋4×i

＝2＋2i.

(2)(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角主值为θ＝60°.

(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i

＝＋i.

(3)2

＝2

＝2.

所以复数的模r＝2，辐角主值为π.

2＝2cosπ＋2isinπ

＝2×＋2×i.

＝1－i.

复数的三角形式z＝rcos θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例3.

1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．

(1)；

(2)－；

(3)；

(4)cos＋isin.

[解]　根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式．

(1)原式＝.

(2)原式＝

＝.

(3)原式＝

＝.

【例3】　计算：

(1)8×4；

(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；

(3)4÷.

[解]　(1)8×4

＝32

＝32

＝32

＝32

＝16＋16i.

(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]

＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]

＝(cos 75°＋isin 75°)＝

＝＋i

＝＋i.

(3)4÷

＝4(cos 0＋isin 0)÷

＝4

＝2－2i.

1．乘法法则：模相乘，辐角相加．

2．除法法则：模相除，辐角相减．

3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．

2．计算：

(1)；

(2)(cos 75°＋isin 75°)×；

(3)÷.

[解]　(1)

＝()2

＝2

＝－1＋i.

(2)－i＝

＝，

所以(cos 75°＋isin 75°)×

＝×

＝×

＝cosπ＋isinπ

＝cos＋isin

＝＋i.

(3)因为－＋i＝cosπ＋isinπ，

所以÷

＝÷

＝

＝＝＋i.

【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．

[解]　因为3－i＝2

＝2，

所以2×

＝2

＝2

＝2

＝3＋i，

2×

＝2

＝2

＝－2i.

故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.

两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.

3．在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)

[解]　＋i＝，

由题意得×

＝×2

＝3

＝3i，

即与所得向量对应的复数为3i.

课堂小结

知识：

(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．

(2)复数0的辐角是任意的．

(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.

(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．

方法：

两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；

(1)有限个复数相乘，结论亦成立．

即z1·z2…zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…rn(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．

(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．

1．复数1－i的辐角主值是(　　)

A．π　　　　　　　    B．π

C．π   D．

A　[因为1－i＝2＝2，

所以1－i的辐角主值为π.]

2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．

[答案]　9

3．复数－1＋i的辐角主值是________．

π　[将复数－1＋i化为三角形式：

－1＋i＝2，即得－1＋i的辐角主值为π.]

4．(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝________.

i　[(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)

＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)

＝cos 90°＋isin 90°

＝i.]

5．2(cos 300°＋isin 300°)÷＝________.

－＋i　[2(cos 300°＋isin 300°)÷

＝2÷

＝

＝

＝－＋i.]