2021学年10.2.1 复数的加法与减法教学设计及反思

10.2　复数的运算

10.2.1　复数的加法与减法

情境导学

1．复数代数形式的加、减法

(1)运算法则

①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.

②两个共轭复数的和一定是实数．

(2)加法运算律

设z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1，

②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

思考：如何正确理解复数代数形式的加法运算律的合理性？

[提示]　可以从以下三个方面理解其合理性：

(1)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致；

(2)验证实数加法运算的交换律、结合律，在复数集C中仍然成立；

(3)符合向量加法的平行四边形法则．

2．复数加、减法的几何意义

(1)若复数z1，z2对应的向量分别为，.

(2)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|；

||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)复数与向量一一对应．  (　　)

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数． (　　)

(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)

A．2＋4i   B．－2＋4i  C．－4＋2i   D．4－2i

D　[依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D．]

3．已知向量O1对应的复数为2－3i，向量O2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．

1－i　[＝O2－O1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]

4．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.

2i　[z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，

1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，

∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.]

合作探究

【例1】　(1)＋(2－i)－＝________.

(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.

(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.

(1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.]

(2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.

法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.

(3)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，

又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.

复数加、减法运算方法

(1)复数加减运算法则的记忆

①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

②把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．

(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．

1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________；

(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________；

(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.

(1)6＋i　(2)－7＋7i　(3)－11i　[(1)(3＋5i)＋(3－4i)

＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.

(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i

＝－7＋7i.

(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)

＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.]

【例2】　(1)已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是________．

(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.

[思路探究]　(1)先求出z1－z2＝(2－a)＋(a－1)i，再根据复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限得到关于a的不等式组，解不等式组即得a的取值范围．

(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．

(1)(2，＋∞)　[由题意得z1－z2＝(2－a)＋(a－1)i，

因为复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，

所以所以a＞2.]

(2)[解]　设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理，得

cos∠OZ1Z＝＝－，

所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，

因此△OZ1Z2是正三角形，所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.

利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论

(1)技巧

①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．

②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

(2)常见结论

在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：

①为平行四边形．

②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．

③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形．

④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

[探究问题]

1．在实数范围内a－b＞0⇔a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0⇒z1＞z2恒成立呢？

[提示]　若z1，z2∈R，则z1－z2＞0⇒z1＞z2成立．否则z1－z2＞0D⇒/z1＞z2.

如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.

2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？

[提示]　复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．

【例3】　复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,2,5＋3i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，求|.

[思路探究]　首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．

[解]　如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，

所以即

所以点D对应的复数为z＝3＋4i，所以＝－＝3＋4i－2＝1＋4i，所以||＝.

1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．

2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．

2．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．

[解]　由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，

又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.

即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.

课堂小结

知识：

1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．

2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．

3．向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．

方法：

复数加减混合运算的技巧

(1)类比实数的加减运算，若有括号，则先计算括号内的；若没有括号，则从左到右依次进行计算．

(2)算式中出现的字母，要先确定其是不是实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加减．

1．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为(　　)

A．1   B．2  C．－2  D．－1

A　[依题意，得∴∴xy＝1.]

2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)

A．－1＋i　   B．1－i　　　C．i　　　D．－i

A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A．]

3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2   B．4  C．3   D．－4

B　[z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．]

4．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．

1　[依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，

而|4－3i|＝＝5，

所以＝5，即b＝0.]

5．在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．

[解]　如图，由复数加减法的几何意义，知＝＋，

∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，

∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，

∴|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.