高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.2 余弦定理教案

9.1.2　余弦定理

情境导学

如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.

思考：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？

1．余弦定理

(1)三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．

即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C．

(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．

①已知三边，求三角．

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

2．余弦定理的推论

cos A＝；

cos B＝；

cos C＝.

[拓展]

(1)若b2＋c2＞a2，根据余弦定理的推论可知cos A＝＞0，则角A为锐角．同理可得，若a2＋c2＞b2，a2＋b2＞c2，则角B，角C为锐角．所以当b2＋c2＞a2，a2＋c2＞b2，且a2＋b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．

(2)若b2＋c2＜a2，根据余弦定理的推论可知cos A＝＜0，则△ABC是钝角三角形且角A是钝角．同理可得，若a2＋c2＜b2，则△ABC是钝角三角形且角B是钝角；若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝角三角形且角C是钝角．

(3)若b2＋c2＝a2，根据余弦定理的推论可知cos A＝＝0，则△ABC是直角三角形且角A为直角．同理可得，若a2＋c2＝b2，则△ABC是直角三角形且角B是直角；若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形且角C是直角．

从这个意义上讲，余弦定理是勾股定理的推广．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．  (　　)

(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．  (　　)

(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题． (　　)

(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例． (　　)

[提示]　(1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解．

(2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．

(3)√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．

(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　)

A．       B．－     C．     D．－

A　[根据正弦定理，a∶b∶c＝sin  A∶sin  B∶sin  C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)，

则cos C＝＝.]

3．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则c2＝        .

30－4　[由余弦定理可得c2＝(3)2＋(2)2－2×3×2×＝18＋12－4＝30－4.]

4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝        .

120°　[∵a2＝b2＋bc＋c2，

∴b2＋c2－a2＝－bc，

∴cos A＝＝＝－，

又∵0°＜A＜180°，

∴A＝120°.]

合作探究

【例1】　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝        .

(2)已知△ABC，根据下列条件解三角形：

a＝，b＝，B＝45°.

(1)　[由三角形内角和定理可知cos C＝－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理得

c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.]

(2)[解]　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B．

∴2＝3＋c2－2×c.

即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.

当c＝时，由余弦定理，得cos A＝＝＝.

∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.

当c＝时，由余弦定理，得cos A＝＝＝－.

∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.

故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.

已知两边及一角解三角形的解题思路

(1)若已知角是两边的夹角．则直接运用余弦定理求出另外一边，求其余角时有两种方法：

方法一，继续选用余弦定理求解，此方法计算量稍大但是不会出现多解．

方法二，用正弦定理求解，此方法计算量小，但是会出现多解的情况，计算时要多加小心，利用“大边对大角，小边对小角”来排除多余解．

(2)若已知角是其中一边的对角，有两种方法，一种方法是利用正弦定理先求角(要注意角的取舍，避免产生多解)，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解(应注意对方程解的取舍)．

1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.

[解]　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.

∴x1＝，x2＝－2(舍去)．

∴cos C＝.

根据余弦定理，

c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16.

∴c＝4，即第三边长c为4.

【例2】　(1)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．

(2)在△ABC中，已知c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，求角C．

[解]　(1)∵c>a，c>b，∴C最大．

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，

即37＝9＋16－24cos C，

∴cos C＝－，

∵0°<C<180°，

∴C＝120°.

∴△ABC的最大内角为120°.

(2)∵c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，

∴[c2－(a2＋b2)]2－a2b2＝0，

则c2－(a2＋b2)＝±ab，

故cos C＝＝±.

又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.

已知三角形的三边解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．

(2)根据余弦定理的推论可知，只要将三角形三边求出，或求出三边长度的比值，或求出类似于a2＋b2－c2＝ab的关系式，就可以求出三个角的余弦值，进而求出三个角的大小．

2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)

A．30°    B．60°  C．120°    D．150°

B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝＝，又角A为△ABC的内角，

∴A＝60°.]

[探究问题]

1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？

[提示]　设△ABC的外接圆半径为R.

由正弦定理的变形，将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，将sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．

2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝成立吗？反之，若C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？

[提示]　因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以C＝，反之．若C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.

【例3】　在△ABC中，若(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)sin A，判断△ABC的形状．

[思路探究]　角边转化．

[解]　法一：∵(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)·sin A，

∴由正、余弦定理可得：

·b＝·a，

整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，

即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，

∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.

∴a2＋b2＝c2或a＝b.

故△ABC为直角三角形或等腰三角形．

法二：根据正弦定理，原等式可化为：

(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，

即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．

∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，

∴sin 2B＝sin 2A．

∴2B＝2A或2B＋2A＝π，

即A＝B或A＋B＝.

故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

正、余弦定理判断三角形形状

(1)法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．

(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．

3．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(sin A＋sin B)(a－b)＝(sin C－sin B)c.

(1)求A的值；

(2)若c＝＋，cos B＝，求a的值．

[解]　(1)因为(sin A＋sin B)(a－b)＝(sin C－sin B)c，

所以根据正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc.

在△ABC中，由余弦定理得cos A＝，

将b2＋c2－a2＝bc代入上式，

得cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由B∈(0，π)，cos B＝，得sin B＝＝，

所以sin C＝sin(A＋B)

＝sin Acos B＋cos Asin B

＝×＋×＝，

由正弦定理得a＝sin A＝×＝3.

课堂小结

知识：

1．余弦定理．

2．余弦定理的推论．

方法：

解三角形时对题目条件进行变形的常有途径：

用正、余弦定理进行边、角转换．若将边的关系转化为角的正弦的式子，常用正弦定理进行变形求解；若将角的关系转化为边的关系，常结合余弦定理解题．

1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为(　　)

A．90°  B．120°  C．135°  D．150°

B　[设中间角为角B，由余弦定理，得cos B＝＝＝，所以B＝60°，

所以最大角与最小角的和为180°－B＝180°－60°＝120°.]

2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　)

A．等腰直角三角形   B．直角三角形

C．等腰三角形   D．等边三角形

C　[∵2cos Bsin  A＝sin C，

∴2×·a＝c，

∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．]

3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝       .

2　[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2.]

4．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(＋1)，解此三角形．

[解]　由余弦定理得，

b2＝a2＋c2－2accos B＝82＋[4(＋1)]2－2×8×4(＋1)·cos 60°

＝64＋16(4＋2)－64(＋1)×＝96，

∴b＝4.

法一：∵cos A＝

＝＝，

0°<A<180°，∴A＝45°.

故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.

法二：由正弦定理＝，

∴＝，

∴sin A＝，

∵b>a，c>a，

∴a最小，

即A为锐角．

因此A＝45°.

故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.