高中人教B版 (2019)4.2.1 随机变量及其与事件的联系教学设计

4.2　随机变量

4.2.1　随机变量及其与事件的联系

情境导学

1．随机变量

(1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．

(2)表示：用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示．

(3)取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．

思考：随机变量的取值由什么决定？

[提示]　随机变量的取值由随机试验的结果决定．

2．随机变量与事件的联系

一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且：

(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；

(2)事件X≤a与X＞a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝1.

3．随机变量的分类

(1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量．

(2)连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，连续型随机变量的取值范围包含一个区间．

4．随机变量之间的关系

如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则

Y＝aX＋b也是一个随机变量，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． (　　)

(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．

  (　　)

(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量． (　　)

(4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．  (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

2．下列变量中，是离散型随机变量的是(　　)

A．到2020年10月1日止，我国发射的卫星

B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高

C．某人在车站等出租车的时间

D．某人投篮10次，可能投中的次数

D　[离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确．]

3．如果X是一个离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y(　　)

A．不一定是随机变量

B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量

C．可能是定值

D．一定是离散型随机变量

D　[由于X是离散型随机变量且Y＝aX＋b，故Y与X成线性关系，所以Y一定是离散型随机变量．]

4．(教材P65练习BT3改编)若P(X≤1)＝0.7，则P(X＞1)＝________.

0.3　[∵P(X≤1)＋P(X＞1)＝1，∴P(X＞1)＝1－P(X≤1)＝1－0.7＝0.3.]

合作探究

【例1】　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)标准大气压下，水沸腾的温度；

(2)王老师在某天内接电话的次数；

(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；

(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．

[解]　(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100 ℃，是常量，故不是随机变量；

(2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量；

(3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因此是随机变量；

(4)体积是64 cm3的正方体的棱长是4 cm，因此不是随机变量．

随机变量的辨析方法

1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．

(1)某座大桥一天经过的车辆数X；

(2)某超市5月份每天的销售额；

(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.

[解]　(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．

(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．

(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．

【例2】　写出下列随机变量的取值范围．

(1)张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ；

(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ；

(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；

(4)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．

[解]　(1)ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．

(2)ξ的取值范围为{1,2,3,4,5,6}．

(3)ξ的取值范围为{3,4,5}．

(4)ξ的取值范围为[0,59.5]．

随机变量的取值范围类同于函数的定义域，因此只要明确随机变量的取值同试验结果的对应关系，即可求出随机变量的取值范围.

[探究问题]

设随机变量X，Y间满足Y＝|X|＋1，

若P(X＝1)＝0.3，P(X＝－1)＝0.7，求：

(1)随机变量X的取值范围是多少？

(2)P(Y＝2)的值又是多少？

[提示]　(1)由P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.7＝1可知，

随机变量X只取两个值－1,1，即随机变量X的取值范围是{－1,1}．

(2)P(Y＝2)＝P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.7＝1.

【例3】　(教材P64例2改编)某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪800元，每工作1 h再获取15元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元．

(1)当X＝100时，求Y的值；

(2)写出X与Y之间的关系式；

(3)若P(X≤120)＝0.8，求P(Y＞2 600)的值．

[解]　(1)当X＝100时，表示工作了100个小时，所以Y＝100×15＋800＝2 300.

(2)根据题意有

Y＝15X＋800.

(3)因为X≤120，故15X＋800≤2 600，即Y≤2 600.

所以P(Y≤2 600)＝P(X≤120)＝0.8，

从而P(Y＞2 600)＝1－0.8＝0.2.

1．求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义．对于变量间的关系问题，可类比函数关系求解．

2．对立事件的概率和为1，常借助此关系求对立事件的概率．

2．某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1 500元，每工作1天再获取100元．从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X天，获取的税前月工资为Y元．

(1)当X＝25时，求Y的值；

(2)写出X与Y之间的关系式；

(3)若P(Y＞3 500)＝0.7，求P(X≤20)的值．

[解]　(1)当X＝25时，Y＝25×100＋1 500＝4 000.

(2)由题意可知Y＝100X＋1 500.

(3)由Y＞3 500可知100X＋1 500＞3 500，即X＞20.

∴P(X＞20)＝P(Y＞3 500)＝0.7，

∴P(X≤20)＝1－0.7＝0.3.

课堂小结

1．随机变量的取值是由随机试验的结果决定的，可类比函数的知识学习．

2．随机变量X，Y之间若存在线性关系，即Y＝aX＋b，则X，Y的类型相同，即要么同为离散型随机变量，要么同为连续型随机变量．

1．给出下列四个命题：

①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；

②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；

③一条河流每年的最大流量是随机变量；

④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．

其中正确的个数是(　　)

A．1 B．2　　　　

C．3　 D．4

D　[由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.]

2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是(　　)

A．第5次击中目标

B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标

D．第4次击中目标

C　[{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.]

3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的取值范围是________．

{2,3,4,5,6,7,8,9,10}　[由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.]

4．甲进行3次射击，击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．

0,1,2,3　[甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．]

5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.

(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．

[解]　(1)

(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.

故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量．