人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布教学设计

4.2.5　正态分布

情境导学

1．正态曲线及其性质

(1)正态曲线的定义

一般地，函数φμ，σ(x)＝e对应的图像称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝.

(2)正态曲线的性质

①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；

②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；

③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．

2．正态分布

(1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．

(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%.

P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%.

P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.

思考1：如果X～N(μ，σ2)，那么P(x≤μ)与P(x≥μ)之间存在怎样的等量关系？

[提示]　P(x≤μ)＝P(x≥μ)＝.

3．标准正态分布

(1)定义：μ＝0且σ＝1的分布称为标准正态分布，记作X～N(0,1)．

(2)概率计算方法：

如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．

特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1.

思考2：正态分布Y～N(μ，σ2)化为标准正态分布的变换是什么？

[提示]　借助X＝实现转换．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正态曲线是一条钟形曲线．  (　　)

(2)正态曲线可以关于y轴对称．  (　　)

(3)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

2．正态曲线函数f(x)＝e－，x∈R，其中μ＞0的图像是下图中的(　　)

A　　　　　　B

C　　　　　　D

D　[因为正态曲线函数f(x)关于直线x＝μ对称，又μ＞0，故选D.]

3．(一题两空)如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量中X，Y对应曲线分别是图中的________、________.

①　②　[在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．]

4．若随机变量X～N(0,1)，则P(x＜0)＝________.

　[由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x＜0)＝.]

合作探究

【例1】　设X～N(10,1)．

(1)求证：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；

(2)若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．

[解]　(1)证明：∵X～N(10,1)，

∴正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，

而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称，

即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．

(2)∵P(X≤2)＋P(2<X≤10)＋P(10<X<18)＋P(X≥18)＝1，

μ＝10，

∴P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，

P(2<X≤10)＝P(10<X<18)，

∴2a＋2P(10<X<18)＝1，

即P(10<X<18)＝＝－a.

充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解.

1熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等.

2PX<a＝1－PX≥a；, PX<μ－a＝PX>μ＋a.

1．(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝(　　)

A．0.477　　　　 B．0.625

C．0.954　 D．0.977

(2)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于(　　)

A．a　　 B．1－a

C．2a　  D．1－2a

(1)C　(2)B　[(1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.

(2)对称轴x＝2，∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a.]

【例2】　某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？

[思路点拨]　由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间[100－2,100＋2]，即[98,102]内的概率为68.3%，在区间[96,104]内的概率为95.4%，在区间[94,106]内的概率为99.7%，所以据此可以判断结论．

[解]　由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间[100－3×2,100＋3×2]，即[94,106]内的概率为99.7%，而在这个区间外的概率仅为0.3%，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布Nμ，σ2.②确定一次试验中的取值a是否落入区间[μ－3σ，μ＋3σ]内.③作出判断：如果a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设.如果a∉[μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设.

2．设X～N(1,22)，试求：

(1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)；(3)P(X>5)．

[解]　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.

(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)

＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%.

(2)因为P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，

所以P(3≤X≤5)＝[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)]

＝[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)]

＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]

≈×(95.4%－68.3%)＝13.55%.

(3)P(X>5)＝P(X＜－3)

＝[1－P(－3≤X≤5)]＝[1－P(1－4≤X≤1＋4)]≈2.3%.

[探究问题]

1．若随机变量ξ～N(0,1)，且Φ(a)＝m，则Φ(－a)等于多少？

[提示]　由Φ(a)＋Φ(－a)＝1，得Φ(－a)＝1－Φ(a)＝1－m.

2．如果Y～N(μ，σ2)，令X＝，试证明X～N(0,1)．

[提示]　∵E(X)＝＝＝＝0，

D(X)＝＝＝＝1，

∴X＝～N(0,1)．

【例3】　在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．

(1)试问此次参赛学生总数约为多少人？

(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)＝P(x＜x0)

[思路点拨]　(1)先求出90分以上(含90分)的学生所占的百分比，再计算参赛学生的总数A；

(2)利用P(ξ≥x)＝，结合P(ξ＜x)＝Φ求解．

[解]　(1)设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70,100)，所以～N(0,1)．

由条件知，P(ξ≥90)＝1－P(ξ＜90)

＝1－Φ＝1－Φ(2)＝1－0.977 2＝0.022 8.

这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，

∴参赛总人数约为≈526(人)．

(2)假定设奖的分数线为x分，则X～N(70,100)，故～N(0,1)．

又P(ξ≥x)＝1－P(ξ＜x)

＝1－Φ＝≈0.095 1.

即Φ≈0.904 9，查表得≈1.31，

解得x＝83.1.故设奖的分数线约为83分．

1．任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布．

即：如果X～N(μ，σ2)，则Z＝～N(0,1)．

2．Φ(a)＝P(x＜a)即标准正态曲线与x轴在区间(－∞，a)上的概率，解题时要熟记该要点．

3．已知某地农村务工人员年平均收入服从μ＝8 000，σ＝500的正态分布．

(1)求此地农村务工人员年平均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比；

(2)如果要使此地农村务工人员年平均收入在(μ－a，μ＋a)内的概率不少于0.95，则a至少有多大？

[解]　设X表示此地农村务工人员年平均收入，

则X～N(8 000,5002)．

(1)P(8 000＜X＜8 500)

＝Φ－Φ

＝Φ(1)－Φ(0)＝0.841 3－0.5＝0.341 3.

即此地农村务工人员年平均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.13%.

(2)∵P(μ－a＜X＜μ＋a)

＝Φ－Φ

＝2Φ－1≥0.95，

∴Φ≥0.975，查表得≥1.96.

∴a≥980，

即a的值至少为980.

课堂小结

1．熟记P(μ－σ≤x≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)的值；

2．借助正态曲线的对称性及与x轴之间的面积为1两个特点；

3．借助线性变换使一般正态分布转化为标准正态分布，然后查表求得．变换方式为：Z＝～N(0,1)，其中X～N(μ，σ2)．

1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图像如图所示，则有(　　)

A．μ1<μ2，σ1<σ2　 B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2

A　[根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.]

2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)(　　)

A．0.6 B．0.4

C．0.3 D．0.2

C　[∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，

∴μ＝2，对称轴是x＝2.

∵P(ξ<4)＝0.8，

∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，

∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.]

3．某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的________．

4.6%　[属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)，即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数1－95.4%＝4.6%.]

4．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，在某项测量中，已知ξ在(－∞，－1.96]内取值的概率为0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝________.

0.95　[法一：∵ξ～N(0,1)，

∴P(|ξ|＜1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)

＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950.

法二：因为曲线的对称轴是直线x＝0，

所以由图知

P(ξ＞1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，

∴P(|ξ|＜1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950.

]

5．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．

(1)求c的值；

(2)求P(－4<x<8)．

[解]　(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，

又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.

(2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)≈95.4%.