数学选择性必修 第三册5.3.1 等比数列第1课时教案及反思

5.3　等比数列

5.3.1　等比数列

第1课时　等比数列的定义

情境导学

1．等比数列的概念

一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．

思考1：在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？

[提示]　一定不能为0.

拓展：对等比数列的定义的理解

(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．

(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．

2．等比数列的通项公式及其推广

若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N*.

思考2：等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？

[提示]　不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数．

3．等比数列的单调性

等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列；

(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列；

(3)当q＝1时，数列为常数列；

(4)当q<0时，数列为摆动数列．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若an＋1＝qan，n∈N*且q≠0，则{an}是等比数列． (　　)

(2)等比数列{an}中，an＝a1qn，n∈N*. (　　)

(3)常数列一定是等比数列．  (　　)

(4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　)

A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1

C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1

C　[由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.]

3．下列数列为等比数列的是(　　)

A．2,22,3×22，…

B.，，，…

C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，…

D．0,0,0，…

B　[结合等比数列的定义可知选项B正确．]

4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.

　[法一：∵a2＝a1q＝2，  ①

a5＝a1q4＝，  ②

∴②÷①得：q3＝，∴q＝.

法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝⇒q＝.]

合作探究

【例1】　在等比数列{an}中．

(1)a4＝2，a7＝8，求an；

(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；

(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an.

[解]　(1)法一：∵

∴

由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，

于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝2.

法二：∵a7＝a4q3，∴q3＝＝＝4，

∴q＝.

∴an＝a4qn－4＝2×4＝2×2＝2.

(2)法一：∵　

由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，

∴32×＝1，即26－n＝20，

∴n＝6.

法二：∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，

∴q＝.

由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.

(3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.

a2＝＝，a4＝a3q＝2q，

∴＋2q＝，解得q1＝，q2＝3.

当q＝时，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n.

当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.

综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.

a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.

1．(1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.

(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.

[解]　(1)由an＝a1·qn－1，得＝，

即，得n＝4.

(2)因为

由得q＝或q＝2.

当q＝时，a1＝－16；当q＝2时，a1＝1.

∴an＝－16·或an＝2n－1.

[探究问题]

1．如何证明数列{an}是等比数列？

[提示]　只需证明＝q，(q≠0)即可．

2．如何证明数列{an＋1}是等比数列？

[提示]　只需证明＝q，(q≠0)即可．

【例2】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.

(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，

∴an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，

又a1＝1，故an＋1≠0，

∴＝2.

∴数列{an＋1}是等比数列．

(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．

∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.

由递推关系an＋1＝Aan＋BA，B为常数，且A≠0，A≠1求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝Aan＋λ可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}.

2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．

[解]　an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，

即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝＋4.

又a1＝1，故b1＝＝－1，

所以是首项为－，公比为4的等比数列，

所以bn＋＝－×4n－1，

bn＝－－.

【例3】　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．

(1)求a1，a2；

(2)求证：数列{an}是等比数列．

[解]　(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，

∴a1＝－.

又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.

(2)证明：当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，

得＝－.

又a1＝－，

所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．

1．已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．

2．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：

①定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．

②通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．

③构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．

3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．

[证明]　∵Sn＝2an＋1，

∴Sn＋1＝2an＋1＋1.

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，

又∵S1＝2a1＋1＝a1，

∴a1＝－1≠0.

又由an＋1＝2an知an≠0，

∴＝2，

∴{an}是等比数列．

∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.

课堂小结

1．等比数列定义的理解

(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．

(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．

(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．

2．等比数列的通项公式

(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．

(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．

(3)在公式an＝amqn－m中，体现了已知任意两项便可求公比q，即可求任意一项的思想．

1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　)

A．16 B．16或－16

C．32 D．32或－32

C　[由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝a1q2＝8×4＝32.]

2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)

A．4  B．6  C．5  D．32

B　[由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.]

3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　)

A．a≠1 B．a≠0或a≠1

C．a≠0 D．a≠0且a≠1

D　[由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.]

4．在等比数列{an}中，若a2＝18，a4＝8，则公比q＝________.

±　[由题意可知q2＝＝＝，即q＝±.]

5．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．

(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；

(2)求an.

[解]　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.

下面证明{an－n}是等比数列：

＝＝

＝3(n＝1,2,3，…)．

又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．

(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，

∴an＝n－2·3n－1.