人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案及答案

7．1.2　弧度制及其与角度制的换算

[课程目标] 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

2．熟记特殊角的弧度数．

[填一填]

1．度量角的单位制

(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制，规定周角的为1度的角．其中60分等于1度，60秒等于1分．

(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1_rad.

2．角度制与弧度制的换算

3．特殊角的弧度数

4.弧度制下的公式

如图所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数．

(1)弧度数公式：α＝；

(2)弧长公式：l＝αr；

(3)扇形面积公式：S＝lr＝αr2.

[答一答]

比较弧度制与角度制的异同．

提示：(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的制度，角度制是以“度”为单位来度量角的制度．

(2)1弧度等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°等于圆的所对的圆心角的大小．

(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值．

(4)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数．如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去．

(5)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．

(6)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点．其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是10进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．

(7)角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应.

类型一   概念的理解

[例1]　下列说法不正确的是(　　)

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1度的角是圆周的所对的圆心角，1弧度的角是圆周的所对的圆心角

C．根据弧度的定义，180°一定等于π rad

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关

[解析]　根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误．

[答案]　D

根据弧度、角度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径的长短无关，而与弧长与半径的比值有关.

[变式训练1]　下列命题中，真命题是(　D　)

A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧

B．1弧度是长度为半径的弧

C．1弧度是1度的弧与1度的角之和

D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位

解析：弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．

类型二   角度制与弧度制的互化

[例2]　将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.

[解]　(1)20°＝＝.

(2)－15°＝－＝－.

(3)＝×180°＝105°.

(4)－＝－×180°＝－396°.

1进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°.2熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.

[变式训练2]　(1)把112°30′化成弧度；

(2)把－化成度．

解：(1)112°30′＝°＝×＝.

(2)－＝－°＝－75°.

类型三   弧度制和角度制的简单应用

[例3]　设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝π，β2＝－π.

(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；

(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．

[分析]　由题目可获取以下主要信息：

①用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角π，－π；

②与β角终边相同的角的表示．

解答本题可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式．

[解]　(1)－570°＝－π＝－4π＋π，

750°＝π＝4π＋.

∴α1在第二象限，α2在第一象限．

(2)β1＝＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，

由－720°<θ<0°，得－720°<k·360°＋108°<0°，

∴k＝－2或k＝－1，

∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.

同理β2＝－π＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°和－420°.

迅速进行角度与弧度的互化，准确判断角所在象限是学习三角函数知识的必备基本功.在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常化为解不等式去求对应的k值，也可使用赋值法，对k在其本身取值范围内取特殊值.

[变式训练3]　用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合．

解：(1)题图(1)中，以OB为终边的330°角与－30°角的终边相同，

－30°＝－，而75°＝75×＝，

阴影部分(不包括边界)位于－与之间且跨越x轴的正半轴．

所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为

；

(2)题图(2)中，以OB为终边的225°角与－135°角的终边相同，－135°＝－135×＝－，而135°＝，阴影部分(不包括边界)位于－与之间且跨越x轴的正半轴．

所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为

.

类型四   弧长公式与扇形面积公式的应用

 [例4]　求解下列各题．

(1)若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形面积；

(2)若一扇形的周长为60 cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积达到最大，最大值是多少？

[分析]　利用弧长公式及扇形面积公式，或应用公式建立方程组．求最值时可构造成面积关于r(或角θ)的二次函数．

[解]　(1)圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm.

∴扇形面积S＝|α|r2＝××152＝π(cm2)．

(2)设扇形半径为r，圆心角为θ，弧长为l，面积为S.

则l＋2r＝60，∴l＝60－2r.

S＝lr＝(60－2r)r＝－r2＋30r＝225－(r－15)2.

当r＝15时，面积Smax＝225(cm2)．

此时θ＝＝＝＝2.

∴当半径为15 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为225 cm2.

1给出周长即间接给出弧长及面积，列方程组求弧长及半径，最后求得圆心角的弧度数.在以面积作等式时可以有弧度制和角度制下的两种方式.

2求面积最值，本题可以以r为变量建立面积关于半径r的二次函数，也可以建立关于θ角的函数，求函数的最值方法较多，希望尽力把握.

3使用弧度数公式|α|＝时，应注意α是弧度数，且三个量l，r，α中知道其中任意两个可求另外一个；有些问题还要注意角α的方向和旋转的圈数.

[变式训练4]　(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积；

(2)已知扇形OAB的面积为1 cm2，它的周长是4 cm，求该扇形OAB的圆心角AOB的弧度数．

解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝＝＝(rad)，该扇形面积为S＝lr＝×18×12＝108(cm2)．

(2)设该扇形的圆心角为α，半径为r，周长为P，依题意知：

解得∴α＝＝2 rad.

所以该扇形OAB的圆心角AOB的弧度数为2 rad.

类型五   弧度制的实际应用

[例5]　视力正常的人，能读远处文字的视角不小于5′.试求：

(1)离人10m处，人所能阅读的最小文字的大小如何？

(2)要看清长宽均为5m的大字标语，人离标语最远距离为多少米？

[分析]　解决实际问题的关键是构建数学模型，即如何将实际问题转化为数学问题．本题可转化为以眼睛为圆心，以视角为圆心角，距离为半径的弧长问题，第(1)问是已知半径、圆心角求弧长．第(2)问是已知弧长、圆心角求半径．

[解]　(1)设该文字的长宽均为l m，则l≈10α，其中视角α＝5′≈0.001 454弧度．

∴l＝10×0.001 454＝0.014 54 m≈1.45 cm.

故视力正常的人，在10 m远处能阅读最小为1.45 cm见方的文字；

(2)设人离标语x m处，对5 m见方的文字所张的视角是5′，约为0.001 454弧度，则x≈≈≈3 439 m.

故视力正常的人，最远能在约3 439 m远处看清5 m见方的文字．

本题包含两种意识：一是空间向平面转化的意识，因为人的眼睛看标语时是一个空间图形，我们把它抽象为平面图形；二是近似意识，当半径很大，圆心角较小时，圆心角所对的弧可近似看成一条线段即文字的长度与宽度.

[变式训练5]　如图，动点P、Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长．

解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π，所以t＝4(s)，即P、Q第一次相遇所用的时间为4 s．设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在·4＝π的位置，则xC＝－4·cos＝－2，yC＝－4·sin＝－2，所以C点的坐标为(－2，－2)．P点走过的弧长为π·4＝π；Q点走过的弧长为π.

1．下列各式中，正确的是(　D　)

A．π＝180   B．－15°＝

C．1 rad＝π   D．90°＝ rad

解析：π＝180°，单位为弧度可以省略，单位为度不能省略，故A错；－15°＝－，故B错；1 rad＝，故C错．

2．若α＝－4，则α是(　B　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

解析：由－π<－4<－π，知－4是第二象限角．

3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　C　)

A．1　　　　　B．4  C．1或4　　　 D．2或4

解析：设此扇形的半径为r，弧长是l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.

4．已知半径为100 mm的圆上，有一条弧的长是150 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.

解析：|α|＝＝＝1.5，即该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.