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高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.1 三角函数的定义导学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.1 三角函数的定义导学案，共8页。
[课程目标] 1.理解并掌握任意角三角函数的定义．
2．理解三角函数是以实数为自变量的函数．
3．通过任意角三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深对特殊与一般关系的理解．
[填一填]
1．任意角的三角函数
以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy(如图所示)，并且使∠xOy＝90°.
在角α终边上任取一点P(x，y)，则OP的长度记为r＝eq \r(x2＋y2).
(1)称eq \f(y,r)为角α的正弦，记作sinα，即sinα＝eq \f(y,r)，定义域为{α|α∈R}；
(2)称eq \f(x,r)为角α的余弦，记作csα，即csα＝eq \f(x,r)，定义域为{α|α∈R}；
(3)称eq \f(y,x)为角α的正切，记作tanα，即tanα＝eq \f(y,x)，定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数．
2．三角函数在各个象限的符号
[答一答]
1．如何理解三角函数的定义？
提示：(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如图所示．
这样，三角函数就像前面研究的其他基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了．
(2)设角α是一个任意大小的角，在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离|OP|＝r，则sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r)，tanα＝eq \f(y,x).eq \f(y,r)，eq \f(x,r)，eq \f(y,x)这三个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，而只与角的大小有关，这是因为：如图△OQQ1∽△OPP1，∴eq \f(QQ1,OQ)＝eq \f(PP1,OP)，eq \f(OQ1,OQ)＝eq \f(OP1,OP)，….
2．一个角的正弦、余弦、正切在各个象限的符号如何？
提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y的符号，余弦值的符号取决于横坐标x的符号，正切值则是x、y同号为正，异号为负．
三角函数值在各象限的符号判别记忆规律如下：一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的终边在第一象限时，各种三角函数值的符号全为正号；“二正弦”是指第二象限仅正弦为正；“三正切”是指第三象限仅正切为正；“四余弦”是指第四象限仅余弦为正)．
类型一 求三角函数值
命题视角1：利用定义求三角函数值
[例1] 如图，∠AOP＝eq \f(π,3)，点Q与点P关于y轴对称，P，Q都为角的终边与单位圆的交点，求：
(1)点P的坐标；
(2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则x＝cs∠AOP＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
y＝sin∠AOP＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
(2)∵点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin∠AOQ＝eq \f(\r(3),2)，cs∠AOQ＝－eq \f(1,2).
利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标u，v，由三角函数的定义得sinα＝v，csα＝u.
[变式训练1] 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sinαcsβ＝( B )
A．－eq \f(36,65) B．－eq \f(3,13)
C．eq \f(4,13) D．eq \f(48,65)
解析：sinαcsβ＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,13)，故选B．
命题视角2：取点求三角函数值
[例2] 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且csθ＝eq \f(\r(10),10)x，求sinθ.
[解] 由题意知r＝|OP|＝eq \r(x2＋9)，
由三角函数定义得csθ＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋9)).
又∵csθ＝eq \f(\r(10),10)x，∴eq \f(x,\r(x2＋9))＝eq \f(\r(10),10)x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sinθ＝eq \f(3,\r(12＋32))＝eq \f(3\r(10),10).
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sinθ＝eq \f(3,\r(－12＋32))＝eq \f(3\r(10),10).
综上所述，sinθ＝eq \f(3\r(10),10).
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标a，b，则对应角的三角函数值分别为sinα＝eq \a\vs4\al(\f(b,\r(a2＋b2)))，csα＝eq \a\vs4\al(\f(a,\r(a2＋b2))).
[变式训练2] 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq \f(3,csα)的值．
解：由题意知，csα≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|.
(1)当k>0时，r＝eq \r(10)k，α是第四象限角，
sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3\r(10),10)，
eq \f(1,csα)＝eq \f(r,x)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10)，
∴10sinα＋eq \f(3,csα)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq \r(10)
＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0.
(2)当k<0时，r＝－eq \r(10)k，α是第二象限角，
sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3\r(10),10)，
eq \f(1,csα)＝eq \f(r,x)＝－eq \f(\r(10)k,k)＝－eq \r(10)，
∴10sinα＋eq \f(3,csα)＝10×eq \f(3\r(10),10)＋3×(－eq \r(10))
＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.
综上所述，10sinα＋eq \f(3,csα)＝0.
类型二 判断三角函数值的符号
[例3] 下列各式：①sin1 125°；②taneq \f(37,12)π·sineq \f(37,12)π；
③eq \f(sin4,tan4)；④sin|－1|.其中为负值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[分析] 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号．
[解析] 对于①，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin1 125°>0；对于②，因eq \f(37,12)π＝2π＋eq \f(13,12)π，则eq \f(37,12)π是第三象限角，所以taneq \f(37,12)π>0，sineq \f(37,12)π<0，故taneq \f(37,12)π·sineq \f(37,12)π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故eq \f(sin4,tan4)<0；对于④，因eq \f(π,4)<10.综上，②③为负数．
[答案] B
对于较“大”的角先利用终边相同的角转化为较“小”的角即[0，2π内的角，再根据角所在的象限与三角函数值的符号进行判断.
[变式训练3] 判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cs4·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,4)π)).
解：(1)∵α是第四象限角，
∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.
(2)∵eq \f(π,2)<3<π，π<40，cs4<0，
∵－eq \f(23π,4)＝－6π＋eq \f(π,4)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))＝taneq \f(π,4)>0，
∴sin3·cs4·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,4)π))<0.
类型三 由三角函数值的符号确定角的范围
[例4] 已知：csα<0，tanα<0.
(1)求角α的集合；
(2)求角eq \f(α,2)的终边所在的象限；
(3)试判断sineq \f(α,2)，cseq \f(α,2)，taneq \f(α,2)的符号．
[分析] 根据csα<0，tanα<0.借助三角函数的符号的判断原则不难解得．
[解] (1)∵csα<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵tanα<0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．
∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)).
(2)∵eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，
∴eq \f(π,4)＋kπ当k＝2n(n∈Z)时，eq \f(π,4)＋2nπ∴eq \f(α,2)是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
eq \f(5π,4)＋2nπ∴eq \f(α,2)是第三象限角．
(3)由(2)可知，当eq \f(α,2)是第一象限角时，
sineq \f(α,2)>0，cseq \f(α,2)>0，taneq \f(α,2)>0；
当eq \f(α,2)是第三象限角时，sineq \f(α,2)<0，cseq \f(α,2)<0，taneq \f(α,2)>0.
设单位圆与角α的终边交于点Px，y，则由三角函数定义知eq \a\vs4\al(\f(x,r))＝csα<0，eq \a\vs4\al(\f(y,x))＝tanα<0，∴x<0，y>0，∴点P在第二象限，即角α为第二象限角，从而eq \a\vs4\al(\f(α,2))为第一或第三象限角.再由符号法则可知3中各值的符号.
[变式训练4] 若sin2θ>0，且csθ<0，试确定角θ所在的象限．
解：因为sin2θ>0，
所以2kπ<2θ<2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ<θ当k＝2m，m∈Z时，有2mπ<θ<2mπ＋eq \f(π,2)，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，有2mπ＋π<θ<2mπ＋eq \f(3π,2)，m∈Z.
故θ为第一或第三象限角．
由csθ<0可知，角θ在第二或第三象限或其终边位于x轴负半轴上．
综上所述，角θ在第三象限．
类型四 三角函数式的化简求值与证明
[例5] 化简：eq \f(sinx,|sinx|)＋eq \f(|csx|,csx)＋eq \f(tanx,|tanx|)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中x≠\f(kπ,2)，k∈Z)).
[分析] 分象限对三角函数值的符号进行讨论．
[解] 因为x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以
当x是第一象限角时，sinx>0，csx>0，tanx>0，
原式＝eq \f(sinx,sinx)＋eq \f(csx,csx)＋eq \f(tanx,tanx)＝3；
当x是第二象限角时，sinx>0，csx<0，tanx<0，
原式＝eq \f(sinx,sinx)＋eq \f(－csx,csx)＋eq \f(tanx,－tanx)＝－1；
当x是第三象限角时，sinx<0，csx<0，tanx>0，
原式＝eq \f(sinx,－sinx)＋eq \f(－csx,csx)＋eq \f(tanx,tanx)＝－1；
当x是第四象限角时，sinx<0，csx>0，tanx<0，
原式＝eq \f(sinx,－sinx)＋eq \f(csx,csx)＋eq \f(tanx,－tanx)＝－1.
综上可知，eq \f(sinx,|sinx|)＋eq \f(|csx|,csx)＋eq \f(tanx,|tanx|)的值为3或－1.
求含绝对值的代数式的值时，要根据绝对值的意义先去绝对值符号，为此常采用分类讨论的思想.本题结合自身的特点按角x所在的象限进行讨论.
[变式训练5] 已知角α的终边上的点P与点A(m,2m)(m≠0)关于x轴对称，角β终边上的点Q与点A关于y轴对称，求sinαcsα＋sinβcsβ＋tanαtanβ的值．
解：由题意知P、Q两点的坐标分别为(m，－2m)、(－m,2m)，且|OP|＝|OQ|＝|OA|＝eq \r(5)|m|，
∴sinαcsα＋sinβcsβ＋tanαtanβ
＝eq \f(－2m,\r(5)|m|)·eq \f(m,\r(5)|m|)＋eq \f(2m,\r(5)|m|)·eq \f(－m,\r(5)|m|)＋eq \f(－2m,m)·eq \f(2m,－m)
＝－eq \f(2,5)－eq \f(2,5)＋4＝eq \f(16,5).
1．若角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα的值是( C )
C．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5) D．－eq \f(3,5)
解析：由正弦函数的定义得sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－4,\r(32＋－42))＝－eq \f(4,5).
2．角α的终边经过点P(－b,4)且csα＝－eq \f(3,5)，则b的值为( A )
A．3 B．－3
C．±3 D．5
解析：∵r＝eq \r(b2＋16)，∴eq \f(－b,\r(b2＋16))＝－eq \f(3,5)，∴b＝3.
故选C．
3．若θ是第二象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)))＝－sineq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( C )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：θ是第二象限角，则eq \f(θ,2)是第一或第三象限角，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)))＝－sineq \f(θ,2)，故sineq \f(θ,2)≤0，则eq \f(θ,2)是第三象限角．
4．若α为第二象限角，则eq \f(|sinα|,sinα)－eq \f(csα,|csα|)的值为2.
解析：∵α为第二象限角，∴sinα>0，csα<0，
∴原式＝eq \f(sinα,sinα)－eq \f(csα,－csα)＝1＋1＝2.
[课程目标] 1.理解并掌握任意角三角函数的定义．
2．理解三角函数是以实数为自变量的函数．
3．通过任意角三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深对特殊与一般关系的理解．
[填一填]
1．任意角的三角函数
以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy(如图所示)，并且使∠xOy＝90°.
在角α终边上任取一点P(x，y)，则OP的长度记为r＝eq \r(x2＋y2).
(1)称eq \f(y,r)为角α的正弦，记作sinα，即sinα＝eq \f(y,r)，定义域为{α|α∈R}；
(2)称eq \f(x,r)为角α的余弦，记作csα，即csα＝eq \f(x,r)，定义域为{α|α∈R}；
(3)称eq \f(y,x)为角α的正切，记作tanα，即tanα＝eq \f(y,x)，定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数．
2．三角函数在各个象限的符号
[答一答]
1．如何理解三角函数的定义？
提示：(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如图所示．
这样，三角函数就像前面研究的其他基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了．
(2)设角α是一个任意大小的角，在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离|OP|＝r，则sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r)，tanα＝eq \f(y,x).eq \f(y,r)，eq \f(x,r)，eq \f(y,x)这三个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，而只与角的大小有关，这是因为：如图△OQQ1∽△OPP1，∴eq \f(QQ1,OQ)＝eq \f(PP1,OP)，eq \f(OQ1,OQ)＝eq \f(OP1,OP)，….
2．一个角的正弦、余弦、正切在各个象限的符号如何？
提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y的符号，余弦值的符号取决于横坐标x的符号，正切值则是x、y同号为正，异号为负．
三角函数值在各象限的符号判别记忆规律如下：一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的终边在第一象限时，各种三角函数值的符号全为正号；“二正弦”是指第二象限仅正弦为正；“三正切”是指第三象限仅正切为正；“四余弦”是指第四象限仅余弦为正)．
类型一 求三角函数值
命题视角1：利用定义求三角函数值
[例1] 如图，∠AOP＝eq \f(π,3)，点Q与点P关于y轴对称，P，Q都为角的终边与单位圆的交点，求：
(1)点P的坐标；
(2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则x＝cs∠AOP＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
y＝sin∠AOP＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
(2)∵点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin∠AOQ＝eq \f(\r(3),2)，cs∠AOQ＝－eq \f(1,2).
利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标u，v，由三角函数的定义得sinα＝v，csα＝u.
[变式训练1] 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sinαcsβ＝( B )
A．－eq \f(36,65) B．－eq \f(3,13)
C．eq \f(4,13) D．eq \f(48,65)
解析：sinαcsβ＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,13)，故选B．
命题视角2：取点求三角函数值
[例2] 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且csθ＝eq \f(\r(10),10)x，求sinθ.
[解] 由题意知r＝|OP|＝eq \r(x2＋9)，
由三角函数定义得csθ＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋9)).
又∵csθ＝eq \f(\r(10),10)x，∴eq \f(x,\r(x2＋9))＝eq \f(\r(10),10)x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sinθ＝eq \f(3,\r(12＋32))＝eq \f(3\r(10),10).
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sinθ＝eq \f(3,\r(－12＋32))＝eq \f(3\r(10),10).
综上所述，sinθ＝eq \f(3\r(10),10).
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标a，b，则对应角的三角函数值分别为sinα＝eq \a\vs4\al(\f(b,\r(a2＋b2)))，csα＝eq \a\vs4\al(\f(a,\r(a2＋b2))).
[变式训练2] 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq \f(3,csα)的值．
解：由题意知，csα≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|.
(1)当k>0时，r＝eq \r(10)k，α是第四象限角，
sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3\r(10),10)，
eq \f(1,csα)＝eq \f(r,x)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10)，
∴10sinα＋eq \f(3,csα)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq \r(10)
＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0.
(2)当k<0时，r＝－eq \r(10)k，α是第二象限角，
sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3\r(10),10)，
eq \f(1,csα)＝eq \f(r,x)＝－eq \f(\r(10)k,k)＝－eq \r(10)，
∴10sinα＋eq \f(3,csα)＝10×eq \f(3\r(10),10)＋3×(－eq \r(10))
＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.
综上所述，10sinα＋eq \f(3,csα)＝0.
类型二 判断三角函数值的符号
[例3] 下列各式：①sin1 125°；②taneq \f(37,12)π·sineq \f(37,12)π；
③eq \f(sin4,tan4)；④sin|－1|.其中为负值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[分析] 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号．
[解析] 对于①，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin1 125°>0；对于②，因eq \f(37,12)π＝2π＋eq \f(13,12)π，则eq \f(37,12)π是第三象限角，所以taneq \f(37,12)π>0，sineq \f(37,12)π<0，故taneq \f(37,12)π·sineq \f(37,12)π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故eq \f(sin4,tan4)<0；对于④，因eq \f(π,4)<1
[答案] B
对于较“大”的角先利用终边相同的角转化为较“小”的角即[0，2π内的角，再根据角所在的象限与三角函数值的符号进行判断.
[变式训练3] 判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cs4·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,4)π)).
解：(1)∵α是第四象限角，
∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.
(2)∵eq \f(π,2)<3<π，π<4
∵－eq \f(23π,4)＝－6π＋eq \f(π,4)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))＝taneq \f(π,4)>0，
∴sin3·cs4·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,4)π))<0.
类型三 由三角函数值的符号确定角的范围
[例4] 已知：csα<0，tanα<0.
(1)求角α的集合；
(2)求角eq \f(α,2)的终边所在的象限；
(3)试判断sineq \f(α,2)，cseq \f(α,2)，taneq \f(α,2)的符号．
[分析] 根据csα<0，tanα<0.借助三角函数的符号的判断原则不难解得．
[解] (1)∵csα<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵tanα<0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．
∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)).
(2)∵eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，
∴eq \f(π,4)＋kπ
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
eq \f(5π,4)＋2nπ
(3)由(2)可知，当eq \f(α,2)是第一象限角时，
sineq \f(α,2)>0，cseq \f(α,2)>0，taneq \f(α,2)>0；
当eq \f(α,2)是第三象限角时，sineq \f(α,2)<0，cseq \f(α,2)<0，taneq \f(α,2)>0.
设单位圆与角α的终边交于点Px，y，则由三角函数定义知eq \a\vs4\al(\f(x,r))＝csα<0，eq \a\vs4\al(\f(y,x))＝tanα<0，∴x<0，y>0，∴点P在第二象限，即角α为第二象限角，从而eq \a\vs4\al(\f(α,2))为第一或第三象限角.再由符号法则可知3中各值的符号.
[变式训练4] 若sin2θ>0，且csθ<0，试确定角θ所在的象限．
解：因为sin2θ>0，
所以2kπ<2θ<2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ<θ
当k＝2m＋1，m∈Z时，有2mπ＋π<θ<2mπ＋eq \f(3π,2)，m∈Z.
故θ为第一或第三象限角．
由csθ<0可知，角θ在第二或第三象限或其终边位于x轴负半轴上．
综上所述，角θ在第三象限．
类型四 三角函数式的化简求值与证明
[例5] 化简：eq \f(sinx,|sinx|)＋eq \f(|csx|,csx)＋eq \f(tanx,|tanx|)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中x≠\f(kπ,2)，k∈Z)).
[分析] 分象限对三角函数值的符号进行讨论．
[解] 因为x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以
当x是第一象限角时，sinx>0，csx>0，tanx>0，
原式＝eq \f(sinx,sinx)＋eq \f(csx,csx)＋eq \f(tanx,tanx)＝3；
当x是第二象限角时，sinx>0，csx<0，tanx<0，
原式＝eq \f(sinx,sinx)＋eq \f(－csx,csx)＋eq \f(tanx,－tanx)＝－1；
当x是第三象限角时，sinx<0，csx<0，tanx>0，
原式＝eq \f(sinx,－sinx)＋eq \f(－csx,csx)＋eq \f(tanx,tanx)＝－1；
当x是第四象限角时，sinx<0，csx>0，tanx<0，
原式＝eq \f(sinx,－sinx)＋eq \f(csx,csx)＋eq \f(tanx,－tanx)＝－1.
综上可知，eq \f(sinx,|sinx|)＋eq \f(|csx|,csx)＋eq \f(tanx,|tanx|)的值为3或－1.
求含绝对值的代数式的值时，要根据绝对值的意义先去绝对值符号，为此常采用分类讨论的思想.本题结合自身的特点按角x所在的象限进行讨论.
[变式训练5] 已知角α的终边上的点P与点A(m,2m)(m≠0)关于x轴对称，角β终边上的点Q与点A关于y轴对称，求sinαcsα＋sinβcsβ＋tanαtanβ的值．
解：由题意知P、Q两点的坐标分别为(m，－2m)、(－m,2m)，且|OP|＝|OQ|＝|OA|＝eq \r(5)|m|，
∴sinαcsα＋sinβcsβ＋tanαtanβ
＝eq \f(－2m,\r(5)|m|)·eq \f(m,\r(5)|m|)＋eq \f(2m,\r(5)|m|)·eq \f(－m,\r(5)|m|)＋eq \f(－2m,m)·eq \f(2m,－m)
＝－eq \f(2,5)－eq \f(2,5)＋4＝eq \f(16,5).
1．若角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα的值是( C )
C．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5) D．－eq \f(3,5)
解析：由正弦函数的定义得sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－4,\r(32＋－42))＝－eq \f(4,5).
2．角α的终边经过点P(－b,4)且csα＝－eq \f(3,5)，则b的值为( A )
A．3 B．－3
C．±3 D．5
解析：∵r＝eq \r(b2＋16)，∴eq \f(－b,\r(b2＋16))＝－eq \f(3,5)，∴b＝3.
故选C．
3．若θ是第二象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)))＝－sineq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( C )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：θ是第二象限角，则eq \f(θ,2)是第一或第三象限角，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)))＝－sineq \f(θ,2)，故sineq \f(θ,2)≤0，则eq \f(θ,2)是第三象限角．
4．若α为第二象限角，则eq \f(|sinα|,sinα)－eq \f(csα,|csα|)的值为2.
解析：∵α为第二象限角，∴sinα>0，csα<0，
∴原式＝eq \f(sinα,sinα)－eq \f(csα,－csα)＝1＋1＝2.
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