数学必修 第三册7.4 数学建模活动：周期现象的描述学案

7．4　数学建模活动：周期现象的描述

[课程目标] 1.了解周期现象在现实中广泛存在．

2．感受周期现象对实际工作的意义．

3．能熟练地判断简单的实际问题的周期．

[填一填]

1．以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．

2．要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．

[答一答]

“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？

提示：周而复始，重复出现．

类型一　　　　　　利用图像判断周期现象

[例1]　下表是2016年5月1日在泰山山顶每隔2 h测得的温度(单位：℃)．

(1)以时刻为x轴，以气温为y轴，描出图像；

(2)若山顶的温度随时刻t的变化具有周期现象，试估计泰山山顶一天中的最大温差．

[解]　(1)如图：

(2)由图(表)知，泰山山顶一天中的最大温差约为28－(－2)＝30(℃)．

利用图像判断周期现象的方法

(1)由题中提供的数据画出图像；

(2)观察图像是否是随着一个变量的等值变化，另一个变量的值重复出现，若满足，则是周期现象．

[变式训练1]　我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小．下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.

(1)根据上表提供的数据在平面直角坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；

(2)说明血压变化的规律．

解：(1)散点图如图．

(2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T(15 s)，血压就重复出现相同的数值，因此，血压是周期性变化的．

类型二　　　　　　周期现象的计算问题

 [例2]　水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？

[解]　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．

又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，

所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，

所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．

1应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的.

2只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决.

[变式训练2]　利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？

解：设x分钟后盛水y升，由例2知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，

所以y＝·160＝32x，为使水车盛800升的水，

则有32x≥800，所以x≥25，

即水车盛800升的水至少需要25分钟．

类型三　　　　　　周期现象的应用

 [例3]　一根长为l的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，如图．已知小球从M点放下，经过0.5秒第一次到达平衡位置O，求小球第三次经过平衡位置O的时间．

[解]　设小球从点M处放下，经过平衡位置O到达最高点N，由于第一次到达平衡位置的时间为0.5秒，因此由M点第一次到达N点的时间为1秒，由N处摆动到平衡位置是第二次到达平衡位置，用时0.5秒，到达M点用时0.5秒，从点M再次达到平衡位置O，即第三次到达平衡位置又用时0.5秒．故第三次经过平衡位置的时间为1＋0.5＋0.5＋0.5＝2.5(秒)．

应用周期现象解决实际问题的两个要点

[变式训练3]　如图是一单摆，摆球从点B到点O，再到点C用时1.6 s(不计阻力)．若从摆球在点B处开始计时，经过1 min后，请估计摆球相对于点O的位置．

解：由题意知，该摆球摆动一个来回需用时3.2 s，因为1 min＝60 s＝(18×3.2＋2.4) s，而2.4－1.6＝0.8 s，所以1 min后摆球在点O处.

1．下列现象是周期现象的是(　A　)

①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震．

A．①②   B．①②③

C．①②④   D．③④

2.如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是(　B　)

A．2T   B．T

C.   D.

3．2019年，小明17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是(　D　)

A．26   B．32

C．36   D．41

4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是红色．