人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案及答案

7．2.3　同角三角函数的基本关系式

[课程目标] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.

2．会运用以上两个基本关系式进行化简、求值和证明．

3．通过学习同角三角函数的基本关系式，认识事物之间的普遍联系规律，培养辩证唯物主义观．

[填一填]

1．同角三角函数的基本关系式

2.同角三角函数基本关系式的常见变形

同角三角函数基本关系式的变形有：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝cosαtanα，cosα＝(tanα≠0)，(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，＝1等．

在三角函数的求值、化简和证明中经常用到同角三角函数的基本关系式及其变形公式，要注意灵活运用，掌握一些转化技巧，如“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)，化切为弦，化弦为切等．

[答一答]

证明三角恒等式有哪些常用方法？

提示：证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常用如下几种：

(1)从不等式的一边证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是等式的传递性；

(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想；

(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性；

(4)差比法：证明“左边－右边＝0”．

类型一　　利用同角三角函数的关系式求值

[例1]　已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．

[分析]　由tanα得出sinα与cosα的关系，结合sin2α＋cos2α＝1，即可得出答案．

[解]　∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，

又由tanα＝－2得sinα＝－2cosα.

(1)当α为第二象限角时，

⇒5cos2α＝1，

∵cosα<0，∴cosα＝－，sinα＝－2×＝.

(2)当α为第四象限角时，

⇒5cos2α＝1，

∵cosα>0，

∴cosα＝，sinα＝－2×＝－.

综合(1)(2)知：当α为第二象限角时，

cosα＝－，sinα＝，

当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－.

同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论，另外在本例中要注意体会方程思想的应用.

[变式训练1]　已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．

解：∵cosα＝－<0，

∴α是第二或第三象限的角．

如果α是第二象限角，那么

sinα＝＝＝，

tanα＝＝＝－.

如果α是第三象限角，同理可得

sinα＝－＝－，tanα＝.

类型二　　条件求值

命题视角1：化简代入求值

[例2]　已知tanα＝－，求下列各式的值：

(1)；

(2)2sin2α－sinαcosα＋5cos2α；

(3).

[分析]　由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)．若切化弦，应把条件tanα＝代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用tanα表示的式子，一般来说，关于sinα和cosα的齐次式都可化为以tanα表示的式子．

[解]　(1)原式＝＝＝－.

(2)原式＝

＝

＝＝.

(3)原式＝

＝

＝＝.

第3题对分母中常数“1”的处理是利用平方关系将其转化为sin2α＋cos2α，从而将分母转化为sinα和cosα的齐次式，这是处理三角变换中经常用到的方法.

[变式训练2]　已知3sinα－2cosα＝0，求下列各式的值．

(1)＋；

(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.

解析：(1)∵3sinα－2cosα＝0，

∴tanα＝，cosα≠0，

＋＝＋

＝＋＝.

(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α

＝

＝＝＝.

命题视角2：根据和差求值

[例3]　已知sinθ＋cosθ＝(0<θ<π)，求tanθ的值．

[解]　∵sinθ＋cosθ＝，

∴两边平方得sinθcosθ＝－.

又∵0<θ<π，∴<θ<π.

∴sinθ－cosθ＝＝＝.

∴解方程组得

∴tanθ＝＝.

1.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：sinα±cosα2＝1±2sinαcosα.

2.求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意判断它们的符号.

[变式训练3]　已知sinα＋cosα＝，计算下列各式的值：

(1)sinα－cosα；(2)sin3α＋cos3α.

解：(1)∵sinα＋cosα＝，

∴sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝.

∴2sinαcosα＝－.

∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.

∴sinα－cosα＝±.

(2)∵sin3α＋cos3α

＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)

＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，

又由(1)知，sinαcosα＝－，且sinα＋cosα＝，

∴sin3α＋cos3α＝×＝×＝.

类型三　　三角函数式的证明

[例4]　求证：＝.

[分析]　方法1：因为右边分母为cosα，故可将左边分子、分母同乘cosα，整理化简即可．

方法2：只要证明左式－右式＝0即可．

[证明]　证法1：左边＝＝

＝＝＝右边，

∴原式成立．

证法2：∵－

＝

＝

＝＝0，

∴＝.

关于三角恒等式的证明，一般方法有以下几种：

(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．

(3)比较法，即证明“左边－右边＝0”或“＝1”．

(4)分析法，从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到成立的条件为已知条件或明显的事实为止，就可以判定原式成立．

[变式训练4]　求证：＝.

证明：∵右边＝

＝

＝

＝

＝＝左边，

∴原等式成立．

类型四　　综合问题

[例5]　设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得sinα，cosα是关于x的方程8x2－6mx＋2m＋1＝0的根？若存在，求出实数m；若不存在，说明理由．

[分析]　此类题型的求解，一般地，我们先假设存在，再在此基础上求解出m的值，符合条件则存在，不符合则不存在．

[解]　不存在．设存在这样的实数m满足条件，由题设得

Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0①

sinα＋cosα＝m，②

sinα·cosα＝>0.③

又∵sin2α＋cos2α＝1，

∴(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1.④

把②③代入④得2－2×＝1，

即9m2－8m－20＝0.解得m1＝2，m2＝－.

∵m1＝2不满足条件①，m2＝－不满足条件③，

故这样的实数m不存在．

[变式训练5]　已知sinα，cosα为方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个实根，α∈，求m及α的值．

解：因为sinα，cosα为方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个实根，

所以m2－2m＋1≥0且sinα＋cosα＝m，sinαcosα＝，

代入(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα，得m＝.

又α∈，

所以sinα·cosα＝<0，即m<，

所以sinα＋cosα＝m＝，

所以sinα＝－，cosα＝.

又因为α∈，所以α＝－.

1．α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝(　D　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：解法1：∵α为第四象限角，∴sinα<0，

又∵tanα＝－，∴sinα＝－.

解法2：∵解得sinα＝±.

又∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－.

2．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是(　B　)

A．tanα＝－

B．cosα＝－

C．sinα＝－

D．tanα＝

解析：由同角三角函数的基本关系式，知tanα＝，故A，D错误；又因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，故C错误，B正确．

3．若α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是(　D　)

A．正三角形   B．直角三角形

C．锐角三角形   D．钝角三角形

解析：由sinα＋cosα＝平方得：2sinαcosα＝－<0.又∵α是三角形的一个内角，故sinα>0，∴cosα<0，即α为钝角．

4．化简的结果是cos4－sin4.

解析：原式＝＝|sin4－cos4|＝cos4－sin4.