高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程导学案及答案

2.5　椭圆及其方程

2.5.1　椭圆的标准方程

1．椭圆的定义

(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．

(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．

思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

[提示]　2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

2．椭圆的标准方程

思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？

[提示]　a，b的值及焦点所在的位置．

思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？

[提示]　把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．   (　　)

(2)椭圆＋＝1的焦点坐标是(±3,0)． (　　)

(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)×　需2a＞|F1F2|．

(2)×　(0，±3)．

(3)×　a＞b＞0时表示焦点在y轴上的椭圆．

2．以下方程表示椭圆的是(　　)

A．x2＋y2＝1　　　　　　B．2x2＋3y2＝6

C．x2－y2＝1   D．2x2－3y2＝6

B　[只有B符合椭圆的标准方程的形式．]

3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是(　　)

A．＋＝1

B．＋＝1

C．＋＝1或＋＝1

D．＋＝1或＋＝1

C　[若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＋＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＋＝1．]

4．椭圆＋＝1的左、右焦点F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝        ．

2　[由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝6，所以|PF2|＝6－|PF1|＝6－4＝2．]

【例1】　根据下列条件，求椭圆的标准方程．

(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．

(2)经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．

(3)过(－3,2)且与＋＝1有相同的焦点．

[解]　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为：＋＝1(a＞b＞0)．

∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5．

∴b2＝a2－c2＝144．

∴所求椭圆的标准方程为：＋＝1．

(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，

又椭圆经过点P，∴＋＝1，

解之得b2＝3，∴a2＝4．

∴椭圆的标准方程为＋＝1．

(3)由方程＋＝1可知，其焦点的坐标为(±，0)，即c＝．

设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为＋＝1(a＞b＞0)，

解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10，

故椭圆的标准方程为＋＝1．

利用待定系数法求椭圆的标准方程

(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．

提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．

1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；

(2)经过点P，Q．

[解]　(1)∵a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12，

且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1．

(2)法一： ①当椭圆的焦点在x轴上时，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意，有

解得

因为a＞b＞0，所以方程组无解．

②当椭圆的焦点在y轴上时，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

依题意，有解得

所以所求方程为＋＝1．

法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，

依题意得解得

故所求方程为5x2＋4y2＝1，即＋＝1．

[探究问题]

1．如何用集合语言描述椭圆的定义？

[提示]　P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|}．

2．如何判断椭圆的焦点位置？

[提示]　判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．

3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？

[提示]　椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．

【例2】　设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

[解]　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，∴c2＝，

∴c＝，2c＝5．

在△PF1F2中，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，

即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|． ①

由椭圆的定义，得10＝|PF1|＋|PF2|，

即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|． ②

②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，

所以|PF1|·|PF2|＝25，

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝．

1．将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”其余条件不变，求△F1PF2的面积．

[解]　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，∴c2＝，∴c＝，2c＝5．

在△PF1F2中，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°，

即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|． ①

由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，

即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|． ②

②－①，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝75，

所以|PF1|·|PF2|＝75(2－)，

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝(2－)．

2．将椭圆的方程改为“＋＝1”其余条件不变，求△F1PF2的面积．

[解]　|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，又|F1F2|＝2c＝12．

由余弦定理知：(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，

即：144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．

所以|PF1|·|PF2|＝，

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝．

椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．

(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．

拓展延伸：椭圆中的焦点三角形

椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．

【例3】　如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．

[解]　由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，

|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|．

∴|CM|＋|MA|＝5．

∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，

焦点为C(－1,0)，A(1,0)，

∴a＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝－1＝．

∴所求轨迹方程为：＋＝1．

求解与椭圆相关的轨迹问题的方法

2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

[解]　如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，

由题意动圆M内切于圆C1，

∴|MC1|＝13－r．

圆M外切于圆C2，

∴|MC2|＝3＋r．

∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，

∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，

且2a＝16,2c＝8，

b2＝a2－c2＝64－16＝48，

故所求轨迹方程为＋＝1．

(1)平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a．

(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．

(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．

1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5　　　　　　　　 B．6

C．7   D．8

D　[由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8．]

2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．线段

C．圆   D．以上都不对

B　[|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2．]

3．椭圆＋＝1的焦距为        ．

8　[由方程得a2＝32，b2＝16，∴c2＝a2－b2＝16．

∴c＝4,2c＝8．]

4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长是      ．

16　[由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，又△ABF2的周长等于|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝16．]

5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是        ．

＋＝1　[|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，

∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1．]