高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质学案设计

第2章 平面解析几何

2.7.2　抛物线的几何性质

1．抛物线的几何性质

思考1：抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？

[提示]　有一条对称轴．

思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？

[提示]　抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．

思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？

[提示]　参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．

2．焦点弦

设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)抛物线是中心对称图形．  (　　)

(2)抛物线的范围为x∈R．  (　　)

(3)抛物线关于顶点对称．  (　　)

(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

[提示]　(1)×　在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．

(2)×　抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．

(3)×

(4)√　离心率都为1，正确．

2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是(　　)

A．8　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．2

A　[∵抛物线的方程为y2＝8x，

∴其准线l的方程为x＝－2，

设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，

则d＝|PF|，

即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，

∵点P到y轴的距离是6，

∴x0＝6，

∴|PF|＝6＋2＝8．]

3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝        ．

8　[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2．

∵由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]

4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是        ．

y2＝24x或y2＝－24x　[∵顶点与焦点距离为6，即＝6，∴2p＝24，又对称轴为x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x．]

【例1】　(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是        ．

(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．

(1)y2＝5x　[线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为，

∴抛物线的焦点为，∴其标准方程是y2＝5x．]

(2)解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，

∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．

∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，

即＝3，∴p＝6，

∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，

其准线方程分别为x＝－3和x＝3．

用待定系数法求抛物线方程的步骤

提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．

1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．

[解]　设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．

因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6，

因为点P到准线距离为10，所以＝10． ①

因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0． ②

由①②，得或

或或

所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x．

【例2】　(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是        ．

(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．

(1)4　[如图，设A(x0，y0)，

过A作AH⊥x轴于H，

在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，

由∠AFO＝120°，得∠AFH＝60°，

故y0＝|AH|＝(x0－1)，

所以A点的坐标为

，

将点A坐标代入抛物线方程可得3x－10x0＋3＝0，

解得x0＝3或x0＝(舍)，故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4．]

(2)解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2．

又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y，

即x－x＋2px1－2px2＝0，

整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．

∵x1＞0，x2＞0,2p＞0，

∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，

即线段AB关于x轴对称．

由此得∠AOx＝30°，

所以y1＝x1，与y＝2px1联立，

解得y1＝2p．∴|AB|＝2y1＝4p．

利用抛物线的性质可以解决的问题

(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．

(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．

(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．

(4)焦点：解决焦点弦问题．

提醒：解答本题时易忽略A，B关于x轴对称而出错．

2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．

[解]　由已知得＝2，所以＝4，解得＝．

即渐近线方程为y＝±x，而抛物线准线方程为x＝－，于是A，B，从而△AOB的面积为·p·＝．

可得p＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y2＝4x．

[探究问题]

以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：

(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？

[提示]　①|AB|＝2(焦点弦长与中点关系)．

②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．

③A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2．

④S△AOB＝．

⑤＋＝(定值)．

(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？

[提示]　如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l．

所以以AB为直径的圆必与准线l相切．

(3)解决焦点弦问题需注意什么？

[提示]　要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．

【例3】　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．

[思路探究]　根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．

[解]　∵过焦点的弦长|AB|＝p，

∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，

设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵y2＝2px的焦点为F．

∴直线方程为y＝k．

由整理得

k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0(k≠0)，

∴x1＋x2＝，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p，

又|AB|＝p，

∴＋p＝p，∴k＝±2．

∴所求直线方程为y＝2或y＝－2．

1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．

[解]　设AB中点为M(x0，y0)，

由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝p，

所以AB的中点M到y轴的距离为p．

2．(变换条件)本例中，若A、B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1．

[解]　由例题解析可知AB的方程为y＝k，

即x＝y＋，

代入y2＝2px消x可得y2＝y＋p2，即y2－y－p2＝0，∴y1y2＝－p2，

由A1点的坐标为，B1点的坐标为，得kA1F＝－，kB1F＝－．

∴kA1F·kB1F＝＝－1，

∴∠A1FB1＝90°．

解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.

1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．

2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义．

3．抛物线y2＝±2px(p＞0)的过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x2＝±2py(p＞0)的过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值．

4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．

1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　D．

A　[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝．]

2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　)

A．(4，±2)　　　　　   B．(±4，2)

C．(±2,4)   D．(2，±4)

D　[抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有

⇒⇒

所以符合题意的点为(2，±4)．]

3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)

A．(2，±2)   B．(1，±2)

C．(1,2)   D．(2,2)

B　[由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B．]

4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是        ．

　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由抛物线2x2＝y，可得p＝．

∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，

∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝．]

5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|＝8，求k的值．

[解]　(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，

由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2．

所以抛物线的方程为y2＝4x．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，

∴x1＋x2＝．

∵直线l经过抛物线C的焦点F，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，

解得k＝±1，

所以k的值为1或－1．