人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试课时练习

人教版初中数学九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷

考试范围：第二十八章；考试时间：120分钟；总分：100分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，，，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

2. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是

A.
B.
C.
D.

3. 在中，，都是锐角，，你认为最确切的判断是   

A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形

4. 如图，是的直径，，是上两侧的点，若，则的值为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，是的直径，为的弦，于点，若，，则阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，锐角中，以为直径的半圆分别交、于、两点，且：：，则的值是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，的长为，则树的高度是．

A.  B.  C.  D.

8. 如图，菱形中，，对角线，相交于点，以为圆心，为半径作交于点，已知；菱形的周长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

10. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是

A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 无法确定

12. 将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形，，，，连接，则的值等于

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，半径为的与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则______．
    
    
     

14. 如图，在由个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则______．
    
     

15. 如图，一艘船以的速度由西向东航行，航行到处时，测得灯塔在船的北偏东方向上，继续航行，到达处，测得灯塔在船的北偏西方向上，此时船到灯塔的距离为______结果保留根号

16. 如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为______ 海里结果保留根号．
    
     

三、计算题（本大题共8小题，共52.0分）

17. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     
18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 计算：
    先化简，再求值：，其中：
    
    
    
    
    
    
     
20. 在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点到地面的距离即的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：
    在地面上选定点，，使点，，在同一条直线上，测量出、两点间的距离为米；
    在教室窗户边框上的点点处，分别测得点，的俯角，请你根据以上数据计算出的长．可能用到的参考数据：    
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，为测量广场雕塑的高度，小明在广场平地上的点处，测得雕塑顶部的仰角为，在线段上的点处，测得雕塑顶部的仰角为已知．
    
    
    若到的距离为          ；
    
    求建筑物的高结果保留根号
    
    
    
    
    
    
     
22. 某数学兴趣小组准备测量学校旗杆的高度．如图所示，左、右两楼、的高度均为米，旗杆在两楼之间，甲同学在左楼阳台处测得旗杆顶点的仰角为，且阳台的高度为米，乙同学在右楼楼顶处测得旗杆顶点的俯角为点、、在同一条直线上，已知两楼间的距离为米，请你帮助该数学兴趣小组计算旗杆的高．精确到米．参考数据：，，

23. 如图，是等腰三角形，是底边中点，腰与相切于点
    求证：是的切线；
    如图，连接，若，的半径为，求的长．

24. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲建筑物的顶部处测得乙建筑物的顶部处的俯角为，测得乙建筑物的底部处的俯角为，求乙建筑物的高度结果精确到参考数据：，，，，，

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：在中，
，
，
．
故选：．
根据题意，先求出，再利用勾股定理求出．
本题考查了锐角三角函数，涉及勾股定理，属于基础题．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
首先构造以为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】
解：连接．

则，，
则．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：由题意，得
，．
，
所以为等腰直角三角形   ，
故选：．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆周角定理及特殊角的三角函数值等知识，熟知圆周角定理是解答此题的关键．
根据圆周角定理得出，进而得出，利用特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】
解：，
，
是的直径，，
，
，
，
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】 解：是的直径，为的弦，于点，
．
设的半径为，
在直角中，，即，
解得，，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据垂径定理得出，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出，进而结合扇形面积求出答案．
此题主要考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：连接．
，，
∽．
：：，
：：，
：：，
：．
故选：．
要求的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接，通过和的比例关系来求的余弦值．，的比例关系可通过∽三来求解，这样就不难求得其余弦值了．
本题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理，根据三角形相似，用面积比求出相关的线段比是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
先根据，得出，故可得出，再由可知，由可得出，故，所以，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：在中，
，，
，
．
，，
，．
，
，
，
，
．
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】解：连接，
是的直径，
，
中，，
设，，则，
四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形的周长，
故选：．
连接，根据圆周角定理可得，根据三角函数定义设未知数，由列方程可得结论．
此题主要考查了圆周角定理、菱形的性质以及锐角三角函数关系的应用，正确设未知数是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：在中，，
故BC．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
作于，于由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】
解：如图，作于，于．

，
，
，设，，
则有：，
，
或舍弃，
，
，，，
等腰三角形两腰上的高相等
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
根据三角函数的定义得到，根据勾股定理求得，和的半径比较即可．
【解答】
解：中，，，，
，
，
，
，
与的位置关系是相切，
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．
如图所示，连接，过点作垂直于的延长线于点，构造直角三角形，将置于直角三角形中，设为，根据特殊直角三角形分别求得线段、、，从而按正切函数的定义可解．
【解答】
解：如图所示，连接，过点作垂直于的延长线于点，

在中，，在中，
，
，
设，则
在中，
，
，则，
在中，
，
在中，
故选：．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，属于中档题．
得出，求得，即可求得，进行求解即可．
【解答】
解：连接，作于，

与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：给图中各点标上字母，连接，如图所示．
在中，，，
．
同理，可得出：．
又，
．
设等边三角形的边长为，则，，
，
．
故答案为：．
给图中各点标上字母，连接，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理，可得出：，由结合可得出，设等边三角形的边长为，则，，利用勾股定理可得出的长，再结合余弦的定义即可求出的值．
本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：根据题意，得：，，，
．
在中，．
故答案为：．
利用三角形内角和定理可求出，在中，通过解直角三角形可求出的长，此题得解．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形求出的长是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：过作于，如图所示：
由题意得：，，海里，
在中，，
海里，
在中，，
海里，
故答案为：．
过点作，在中由锐角三角函数定义求出的长，再在中由锐角三角函数定义求出的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，原式．
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式
，
故答案为：．
 

【解析】先化简各项，再作加减法，即可计算．
此题考查实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，关键是掌握运算法则和运算顺序．
 

19.【答案】解：
；
，
当时，原式．
 

【解析】根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题；
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

20.【答案】解：由题意可知：于，
，
，
．
设，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，，
，
解得 ，
答：的长为米．
 

【解析】设，在中，，在中，根据图中的线段关系可得，进而可得，再解即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 

21.【答案】
 

【解析】解：根据题意可知：，，．
如图，过点作于点，

，
故答案为：；
根据题意可知：，，
，，
，
，
，，
．
答：建筑物的高为．
过点作于点，根据含度角的直角三角形即可解决问题；
根据题意可得是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解两个直角三角形之间的关系是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：如图，连接，延长交于，过点作于．

由题意，米，，米，，米，
在中，，
，
，
设米，
则米，
米，
在中，，
，
解得，，
经检验，是分式方程的解，
即米，
旗杆的高为米．
 

【解析】连接，延长交于，过点作于首先证明，设米，在中，根据，构建方程解决问题即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
 

23.【答案】证明：连接，，作于，如图，

为等腰三角形，是底边的中点，
，平分，
与相切于点，
，
而，
，
是的切线；
过作于，连接，
，
，
设，，则，，
是底边中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
解得：，
的半径为，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】连接，作于，如图，利用等腰三角形的性质得，平分，再根据切线的性质得，然后利用角平分线的性质得到，从而根据切线的判定定理得到结论；
过作于，连接，根据三角函数的定义得到，设，，则，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了等腰三角形的性质．
 

24.【答案】解：如图，过点作的平行线与的延长线交于点，

根据题意可知：
米，
在中，，，米，
，
同理可得 ．



米．
答：乙建筑物的高度约为米．
 

【解析】过点作的平行线与的延长线交于点，根据锐角三角函数即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．