高中数学2.7.1 抛物线的标准方程导学案

抛物线的标准方程

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一抛物线的定义

一般地,设F是平面内的一个定点,是不过点的一条定直线,则平面上到的距离与到的距离相等的点的轨迹称为① 抛物线 .其中定点称为抛物线的② 焦点 ,定直线称为抛物线的③ 准线 .

要点二抛物线的标准方程

（1）焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程:④ ,焦点: ,   准线方程: .

（2）焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程:⑤ ,焦点: ,   准线方程: .

（3）焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程:⑥ ,焦点:，准线方程： .

（4）焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程:⑦ ,焦点:，准线方程： .

自主思考

1.到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线吗?

答案：提示定点不能在定直线上,否则点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.

2.抛物线的焦点到准线的距离为多少?

答案：提示 ,则 ,根据的几何意义,知焦点到准线的距离为4.

名师点睛

1.对抛物线定义的理解

（1）定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点,设为 ;一个定点（抛物线的焦点）;一条定直线（抛物线的准线）;一个定值（点到定点的距离与它到定直线l的距离之比等于1）．

（2）定点不在定直线上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点且垂直于直线l的一条直线．

2.对抛物线方程的理解

（1）对称轴要看一次项,符号决定开口的方向．

（2）准线与焦点所在的轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的 ,即．

互动探究·关键能力

探究点一抛物线的定义

精讲精练

例（1）（2020山东临清一中高二期中）与圆外切,又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是(      )

A.

B.和

C.

D.和

（2）（2021山东潍坊高密一中高二月考）已知动点的坐标满足方程 ,则动点的轨迹为(     )

A.抛物线B.双曲线

C.椭圆D.以上都不对

答案：（1）（2）

解析：（1）圆可化为 ,则圆心为 ,半径为2,设动圆的圆心为 ,半径为r,根据题意得即 ,

当时,有

当时,有即则所求的轨迹方程是和 .故选择D.

（2）由题意,得 ,易知上式表示动点到定点（0,0）的距离与到定直线的距离相等,且定点不在定直线上,

结合抛物线的定义可知,动点的轨迹是以定点为焦点,定直线为准线的抛物线.故选A.

解题感悟

解决轨迹为抛物线问题的方法

找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．

迁移应用

1.动点到点（0,2）的距离比它到直线的距离小2,则动点的轨迹方程为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：动点到点的距离比它到直线的距离小2,动点到点的距离与它到直线的距离相等,根据抛物线的定义可得,动点的轨迹为以点为焦点,直线为准线的抛物线,其标准方程为 ,故选D.

探究点二求抛物线的标准方程

精讲精练

例分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点为 ;

（2）准线方程为 ;

（3）过点（2,3）;

（4）焦点到准线的距离为 .

答案：（1）焦点在轴负半轴上,且 ,抛物线的标准方程为 .

（2）焦点在轴正半轴上,且抛物线的标准方程为 .

（3）由题意知,抛物线的方程可设为或

将点代入所设方程中,得或 ,解得或 .

所求抛物线的标准方程为或 .

（4）由焦点到准线的距离为 ,可知 .

所求抛物线的标准方程为或或或 .

解题感悟

用待定系数法求抛物线标准方程的步骤:

注意：当抛物线的类型没有确定时,可设方程为或 ,这样可以减少讨论情况的个数．

迁移应用

1.（2021湖北武汉高二期末）已知抛物线 ,点 ,过抛物线的焦点作垂直于轴的直线,与抛物线交于两点,若的面积为24,则以直线为准线的抛物线的标准方程是(     )

A. B. C. D.

答案：

解析：因为轴,且过点 ,所以是焦点弦,且,，

所以 ,解得或（舍去）,所以直线的方程为 ,

所以以直线为准线的抛物线的标准方程为 .

2.（2021山东淄博高二期末）抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则抛物线的方程为．

答案：

解析：抛物线的焦点为 ,双曲线的渐近线方程为 ,

则到渐近线的距离为 ,所以抛物线的方程为 .

探究点三抛物线定义的实际应用

精讲精练

例若喷灌的喷头装在直立管柱的顶点处,喷出水流的最高点高 ,且与所在的直线相距 ,水流落在以为圆心,半径为的圆上,则管柱的长是多少？

答案：如图所示,建立平面直角坐标系,则 .

设水流所形成的抛物线的方程为

因为点在抛物线上,所以 ,所以 ,

所以抛物线的方程为设点 ,因为点在抛物线上,

所以

所以的长为 .

所以管柱的长为

解题感悟

在抛物线的实际应用中,常以抛物线的顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为一条坐标轴建立平面直角坐标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用 .

迁移应用

 1.如图为一个抛物线形拱桥,当水面经过抛物线的焦点时,水面的宽度为 ,则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船,其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过(     )

A. B. C. D.

答案：  D

解析：以抛物线的顶点为坐标原点,过顶点且平行于水面的直线为轴,抛物线的对称轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系,设水面宽度为时,水面与抛物线的交点分别为A,B.水面宽度为时,水面与抛物线的交点为 .（图略）

由题意及抛物线的定义可知则抛物线的方程为 ,则 ,

当宽度为时,设 ,代入抛物线的方程可得 ,解得 ,

设直线与直线的距离为 ,则 ,

即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（2021陕西长安一中高二期末）抛物线的焦点坐标为 (      )

A. B.（1,0）C. D.

答案：  D

2.若抛物线的准线为 ,则抛物线的方程为(     )

A. B.

C. D.

答案：  C

3.若动圆经过双曲线的左焦点且与直线相切,则圆心的轨迹方程是(     )

A. B.

C. D.

答案：

4.如图所示,抛物线形拱桥的跨度是20米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需要用一支柱支撑,则其中最长的支柱的长度为米.

答案：

素养演练

数学运算——求解与抛物线的定义有关的最值问题

1.

（2020山东实验中学高二检测）若抛物线的焦点为 ,点 ,为抛物线上一点,且不在直线上,则的周长的最小值为(     )

A.4B.5

C. D.

答案： C

解析：审：本题条件为抛物线上的动点与两定点组成的三角形,求三角形周长的最小值是抛物线定义的具体应用,即把到定点的距离转化为到定直线的距离.

联：将问题转化为求的最小值,过作准线的垂线,垂足为根据抛物线的定义可知 ,则转化为求的最小值,当三点共线时,最小,由即可求解.

解：由抛物线可得焦点 ,准线方程为．

由题可知,求的周长的最小值即求的最小值．

过点作准线的垂线,垂足为（图略）,则根据抛物线的定义可知．

因此

根据平面几何知识,当三点共线时最小．

所以② .

又因为③ ,所以的周长的最小值为．故选C.

思：抛物线的定义在解题中的作用就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线中垂线段最短等．