2020-2021学年1.2.5 空间中的距离第1课时学案

第1课时两点间的距离、点到直线的距离、异面直线间的距离

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一两点间的距离

空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长,因为向量的长度表示的是向量的始点与① 终点之间的距离,所以可通过向量来求空间中两点之间的距离.

要点二点到直线的距离

给定空间中一条直线及外一点 ,因为与能确定一个平面,所以过点可以作直线的一条垂线段,这条垂线段的长称为点到直线的② 距离 .点到直线的距离也是这个点与直线上点的③ 最短连线的长度.

自主思考

1.在空间中怎样求两点之间的距离?

答案：提示利用向量法转化为求向量的模.

2.如何求垂线段的长?

答案：提示（1）设为直线外一点,建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,在已知直线上取一点 ,点满足两个条件:① ,② .

（2）利用（1）中的两个等量关系求出的值,进而求出点的坐标,求出向量的模,即为点到直线的距离.

名师点睛

1.点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间中点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．

2.异面直线间的距离可以转化为两点间的距离（公垂线段的长）或点到直线的距离.

3.用空间向量求点到直线的距离的方法：设出点在直线上的射影,利用垂直关系求出射影的坐标,转化为求向量的模,若设到直线的距离为 ,向量在向量上的投影的数量为则 .

互动探究·关键能力

探究点一空间中两点间的距离

自测自评

1.已知点和点 ,且 ,则实数的值是(      )

A.5或-1B.5或1

C.2或-6D.-2或6

答案：

解析： ,解得或 .

2.从出发的光线,经平面反射后到达点 ,则光线所走过的路程为(      )

A.3B.4C. D.

答案：

解析：由对称性知关于平面的对称点为 ,则光线所走过的路程为 ,故选C.

3.在三棱锥中,平面平面 , , , , , ,则的长为(     )

A.8B.9C.11D.12

答案：

解析：建立以为原点的空间直角坐标系,如图.

则 , , ,

,故选C.

4.如图,在三棱柱中,与相交于点 , ,则线段的长度为(     )

A. B. C. D.

答案：

解析：易知四边形是平行四边形,

.

由题意可知 ,

,

,即 .

解题感悟

计算两点间的距离的两种方法：

（1）利用 ,通过向量运算求 ,如求两点间的距离,一般用求解.

（2）用坐标法求向量的模（或两点间的距离）,求解的图形适宜建立空间直角坐标系时常用此方法.

探究点二点到直线的距离

精讲精练

例（1）已知 ,则点到直线的距离为(      )

A. B.1C. D.

（2）已知直三棱柱中, ,求点到直线的距离.

答案：（1）

解析：（1） ,

,

点到直线的距离

.

答案：（2）以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则所以 .设满足且

则 ,又 ,

,

.

,点到直线的距离为 .

变式若将本例（2）中的条件改为“正三棱柱的所有棱长均为2”,求点到直线的距离.

答案：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则则

设满足且 ,

则

又 ,

,

.

点到直线的距离为 .

解题感悟

用向量法求点到直线的距离的一般步骤：

方法一：利用空间向量找垂线段,再求模即可.

方法二：（1）建立空间直角坐标系;

（2）求直线的方向向量;

（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的数量;

（4）利用勾股定理求点到直线的距离.

迁移应用

1.在长方体中, ,点分别是的中点,则点到直线的距离为 .

答案：

解析：以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 ,

则

设点满足且所以则 ,

由解得所以 ,

所以即点到直线的距离为 .

2.设为矩形所在平面外的一点,直线平面 , ,求点到直线的距离.

答案：因为平面 ,所以 ,

所以

因为四边形为矩形,所以 ,

所以

因为

所以在上的投影的数量为 ,

又 ,

所以点到直线的距离 .

探究点三异面直线间的距离

精讲精练

例已知四棱锥中,四边形为正方形,平面 ,且 ,求异面直线与间的距离.

答案：以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,

则 ,从而 ,

设向量满足即所以可取 .

在上取点 ,在上取点 , ,

所以异面直线与间的距离 .

解题感悟、

求异面直线间的距离的方法：

（1）利用几何法,找两条异面直线的公垂线,通过解三角形求公垂线段的长.

（2）在两异面直线与上各取一点为与直线 ,都垂直的直线的方向向量,得到异面直线与间的距离 .

迁移应用

1.在菱形中, ,将菱形沿对角线折成直二面角 ,折起后,直线与间的距离为 .

答案：

解析：设 ,在菱形中, ,

折起后, ,

二面角为直二面角,平面平面 ,

平面平面平面平面 ,

.

以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 .

在原菱形中, ,

,

则

设 ,

令则

令 ,则 .

又直线与间的距离 .

评价检测·素养提升

1.若为坐标原点, ,则线段的中点到点的距离为(      )

A. B. C. D.

答案：

2.已知直线经过点 ,且向量所在直线与垂直,则点到的距离为 .

答案：

3.在正三棱柱中,若 ,则点到直线的距离为 .

答案：