人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系第3课时导学案

第3课时定点、定值与存在性问题

互动探究·关键能力

探究点一定点问题

精讲精练

例（2021山师大附中高二期中）已知椭圆：的离心率为 ,且过点 .

（1）求椭圆的标准方程;

（2）若不过点的动直线与椭圆交于两点,且 ,求证直线过定点,并求该定点的坐标.

答案：（1）由题意得解得 ,则椭圆的标准方程为 .

（2）由 ,可知 ,从而直线与轴不垂直,

故可设直线l的方程为 ,

联立得整理得 .

设 ,

则

由得

由得

将代入,得 ,解得（舍去）或 ,所以直线的方程为 ,所以直线过定点 .

解题感悟

圆锥曲线中定点问题的两种解法

（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示的变量,再研究变量与参数何时没有关系,找到定点．

（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关

迁移应用

1.（2021山东济南高二期末）已知椭圆经过如下四个点中的三个,， .

（1）求椭圆的方程;

（2）设直线与椭圆交于两点,且以线段为直径的圆经过椭圆的右顶点（均不与点重合）,证明:直线过定点.

答案：（1）由题意,点与点关于轴对称,

根据椭圆的对称性和题意可知,点和点都在椭圆上,

因为点与点不可能同时在椭圆上,

所以椭圆过点 ,所以

且

解得所以椭圆的方程为 .

（2）证明：由题意,可设直线l的方程为 ,

联立消去 ,得 ,

设则有

因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点 ,所以 ,

又所以

将代入上式得

,

将①代入上式,得或（舍去）,所以直线的方程为 ,则直线恒过点 .

探究点二定值问题

精讲精练

例已知中心在原点的椭圆的一个焦点为(0,2),且过点 .

（1）求椭圆的方程;

（2）过点作倾斜角互补的两条不同的直线分别交椭圆于另外两点求证：直线的斜率是定值.

答案：（1）设椭圆方程为 ,则有 .又 ,

解得

椭圆的方程为 .

（2）证明：依题意,直线都不垂直于轴,

设直线的方程为 ,则直线的方程为 .

由得 4=0.

同理可得

故直线AB的斜率是定值.

解题感悟

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（1）代数式为定值问题：依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值．

（2）点到直线的距离为定值问题：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得．

（3）某线段长度为定值问题：利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

迁移应用

1.（2020江西吉安高二期末）在平面直角坐标系中,已知抛物线上一点到其焦点的距离为4.过点的直线与抛物线相交于两点.

（1）求抛物线的方程与准线方程;

（2）求证：为定值.

答案：（1）在抛物线上,

.

由抛物线的定义,得 ,

（当时, ,舍去）,

抛物线的方程为 ,准线方程为 .

（2）证明：设直线的方程为 ,由得 .

设 ,

则 .

为定值.

探究点三存在性问题

精讲精练

例在平面直角坐标系中,动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数 .

（1）求动点的轨迹方程;

（2）若过点作与坐标轴不垂直的直线 ,交动点的轨迹于两点,设点关于轴的对称点为 ,当直线绕着点转动时,是否存在定点 ,使得三点共线？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由．

答案：（1）设 ,则化简得

故动点的轨迹方程为．

（2）由题意知直线l的斜率存在,设为 ,则直线的方程为 ,

由得

设则

由椭圆的对称性知,若存在定点 ,则点必在轴上,

故假设存在定点 ,使得三点共线,则且 .

即

化简得

将代入上式,得

解得 ,故存在定点 ,使得三点共线．

解题感悟

存在性问题的解决方法

（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素（点、直线、曲线或参数）存在,否则元素（点、直线、曲线或参数）不存在.

（2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.

迁移应用

 1.已知椭圆：的短轴长是2,离心率为 .

（1）求椭圆的方程;

（2）设直线与椭圆交于两点,点 ,则在直线上是否存在点 ,使得四边形是平行四边形？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由．

答案：（1）由题意得又 ,

椭圆的方程为 .

（2）若四边形是平行四边形,

则且 .

∴直线的方程为 ,

则 .

设 ,由得。

由得且

整理得解得或

经检验均符合 ,但当时不满足四边形是平行四边形,舍去．

或 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（2021山东济南高二检测）已知是椭圆：上异于的一点,的离心率为 ,则直线与的斜率之积为(     )

A. B. C. D.

答案：C

2.抛物线的内接（为坐标原点）的斜边过定点(     )

A.(4,0)B.(0,4)C.(2,0)D.(0,2)

答案： B

3.（2020四川成都外国语学校高二期中）过点的直线与椭圆交于点和 ,且 .点满足 ,若为坐标原点,且 ,则的值为 .

答案：1

素养演练

逻辑推理——动圆过定点问题

1.已知抛物线的焦点坐标为 .

（1）求抛物线的标准方程;

（2）若过点(-2,4)的直线与抛物线交于两点,则在抛物线上是否存在定点 ,使得以为直径的圆过定点？若存在,求出点 ;若不存在,请说明理由.

答案：（1）抛物线的焦点坐标为 ,所以 ,所以 ,故抛物线的标准方程为 .

（2）设易知直线l的斜率存在,故设

联立得 ,则 ,

由题意知即即即将代入,得

当时等式恒成立,故存在满足题意的定点 .

素养探究：本题考查圆过定点问题,利用抛物线的焦点坐标求得抛物线方程,由题意可知l的斜率存在,然后设出直线的方程,与抛物线方程联立,设而不求,利用判断.体现了逻辑推理的核心素养.