高中数学2.2.1 直线的倾斜角与斜率第2课时学案及答案

第2课时直线的方向向量和法向量

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一直线的方向向量

1.直线方向向量的定义

一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 ① 平行或重合，则称向量为直线l的一个方向向量，记作② .

2.直线方向向量的性质

（1）如果为直线l的一个③ 方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定④ 共线 .

（2）如果是直线上两个不同的点，则）是直线的一个⑤ 方向向量

3.直线的方向向量与倾斜角，斜率的关系

一般地，如果已知为直线的一个方向向量，则:

（1）当时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为⑥

（2）当时，直线的斜率是存在的，而且此时都是直线的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知，从而，因此可知倾斜角满足⑦

要点二直线的法向量

1.直线法向量的定义

一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线⑧ 垂直，则称向量为直线的一个法向量，记作 .

⒉直线法向量的性质

（1）一条直线的⑨ 方向向量与法向量互相垂直.

（2）当不全为0时，因为向量是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线的一个方向向量，则另一个一定是直线的一个⑩ 法向量 .

自主思考

1.若直线的斜率为，则直线的一个方向向量可以是吗?

答案：提示可以.

2.直线的一个方向向量与其斜率有什么关系?

答案：提示当，时，的纵坐标与横坐标的比就是直线的斜率;当时，直线的斜率不存在.

3.若为直线的一个法向量，则入也是直线的一个法向量吗?

答案：提示是 .

4.向量为何是相互垂直的?

答案：提示因为二者的数量积为，所以向量（是相互垂直的.

名师点睛

1.任何直线都有方向向量和法向量.倾斜角为的直线的斜率不存在，但其方向向量一定存在;倾斜角为的直线的斜率为0，但其法向量所在的直线的斜率不存在.

2.如果直线的倾斜角为，斜率为，如图所示，那么直线的一个方向向量为 .

互动探究·关键能力

探究点一直线的方向向量及应用

精讲精练

例（1）直线过点，，求直线的一个方向向量、斜率和倾斜角．

（2）已知平面内三点，，，证明：三点共线．

答案：（1）解法一：由已知得为直线的一个方向向量，，，

故该直线的一个方向向量为，斜率为，倾斜角为 .

解法二：，

.

直线的一个方向向量为 .

故该直线的一个方向向量为，斜率为，倾斜角为 .

（2）证明： .

，又与有公共点，三点共线．

解题感悟

直线的方向向量的求法

（1）在直线上任找两点，则为直线的一个方向向量．

（2）已知直线的斜率为，则为直线的一个方向向量．

（3）表示与轴平行或重合的直线的方向向量，表示与轴平行或重合的直线的方向向量.

迁移应用

1.经过两点的直线的一个方向向量为，则的值是(      )

A.1B.-1C.2D.-2

答案：

解析：由已知得 .

2.若直线的一个方向向量是，则其斜率为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为．

探究点二直线的法向量及应用

精讲精练

例已知菱形中,点 ,直线的一个方向向量为 ,直线的一个法向量为 ,求点的坐标．

答案：设点的坐标为 ,则．

由题意得, ,则即

又四边形为菱形, ,

∴为直线的一个法向量,，

即

由①②解得 ∴点的坐标为(5,7)．

变式在本例中,若直线的法向量的大小为18,求此法向量.

答案：因为 ,所以直线的一个方向向量为 ,所以该直线的法向量可设为 ,由题意可得 ,解得 ,所以直线的法向量为(-3,3)或(3,-3).

解题感悟

直线的法向量的求法

若直线的方向向量为 ,则直线的法向量 ,即要求直线的法向量,只需求出直线的方向向量即可

迁移应用

1.已知直线的倾斜角为 ,它的一个法向量为 ,则的值为(     )

A.1-3B.3+1

C.3+32D.-3+32

答案：  D

解析：由题意得, ,

∴直线的一个方向向量为．

∴ ,

∴解得 .

2.若直线的一个法向量为 ,则该直线的倾斜角为 .

答案：

解析：解析设直线的倾斜角为 ,因为直线l的一个法向量为 ,所以该直线的一个方向向量为 ,

则 ,又因为 ,所以 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.过点的直线的一个法向量为(      )

A. B.

C. D.

答案：

2.直线的一个方向向量为 ,则该直线的倾斜角为(      )

A. B. C. D.

答案：

3.直线的一个法向量为 ,则直线的倾斜角为．

答案：

素养演练

数学运算——直线的方向向量与斜率

 1.已知向量 ,直线的一个方向向量为 ,若与共线,则直线的斜率的取值范围是．

答案：

解析：与共线,为直线的一个方向向量, .

①当时, ,当且仅当时取等号,所以．

②当时, ,当且仅当时取等号,所以．故直线AB的斜率的取值范围是．

素养探究：本题考查直线的方向向量与直线的斜率的关系,解答本题的关键是由直线的方向向量求出直线的斜率的表达式,然后利用基本不等式求其取值范围,在此过程中体现了数学运算的核心素养.