数学选择性必修 第一册2.1 坐标法学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册2.1 坐标法学案设计，共5页。

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教材研习
教材原句
要点一平面直角坐标系中的基本公式
1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式
如果A点对应的① 有序实数为(x,y)（即A的坐标为(x,y1)，记作A(x1,y1)，其中x1为A的横坐标，y1为A的纵坐标），且B(x2,y2)，则向量AB= ② (x2-x1,y2-y1)，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|=|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2 .
2.平面直角坐标系内两点之间的中点坐标公式
若M(x,y)是线段AB的中点，则③ AM=MB，从而可以得到平面直角坐标标系内的中点坐标公式x=x1+x22,y=y1+y22
要点二坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为④ 代数问题，然后通过代数运算等解决问题.这种解决问题的方法称为坐标法.
自主思考
1.点P1(0,a),P2(b,0)之间的距离是多少？
答案：提示|P1P2|=a2+b2 .
2.已知A(-8,-3),B(5,-3)，则线段AB的中点坐标是什么？
答案：提示(-32,-3) .
3.对于一个平面图形,建立平面直角坐标系的原则是什么？
答案：提示 ①要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；
②若图形中有互相垂直的两条直线，则考虑将其作为坐标轴；
③考虑图形的对称性，可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴.
名师点睛
坐标法解决问题的基本步骤如下：
第一步，根据题中条件，建立恰当的坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步，进行有关代数运算；
第三步，把代数结果转化成几何关系.
互动探究·关键能力
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探究点一两点间距离公式的应用
精讲精练
例已知△ABC的三个顶点分别为A(-a,0)，B(a,0)，C(0,3a) .求证：△ABC是等边三角形.
答案：证明由两点间的距离公式得|AB|=(a+a)2+(0-0)2=2|a|，
|BC|=(0-a)2+(3a-0)2=2|a|，
|AC|=(0+a)2+(3a-0)2=2|a| .
∴|AB|=|BC|=|AC|，故△ABC是等边三角形.
解题感悟
（1）判断平面多边形的形状或判断点之间的关系时，若已知点的坐标，一般转化为两点间的距离求解.
（2）根据边长判断三角形形状的结论主要有：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.
迁移应用
1.已知A(-1,-1),B(3,5),C(5,3)，试判断△ABC的形状.
答案：|AB|=[3-(-1)]2+[5-(-1)]2=42+62=52=213，
|AC|=[5-(-1)]2+[3-(-1)]2=62+42=52=213，
|BC|=(5-3)2+(3-5)2=22+(-2)2=8=22 .
所以|AB|=|AC|≠|BC|，且三边长不满足勾股逆定理，所以△ABC为等腰三角形.
2.已知点A(-3,4),B(2,3)，在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，求|PA|的值.
答案：设点P(x,0)，则有|PA|=(-3-x)2+(4-0)2=x2+6x+25，
|PB|=(2-x)2+(3-0)2=x2-4x+7 .
由|PA|=|PB|，得x2+6x+25=x2-4x+7，
解得x=-95，即点P的坐标为(-95,0)，
∴|PA|=(-3+95)2+(4-0)2=21095 .
探究点二中点坐标公式及应用
精讲精练
例（1）点M(4,3)关于点N(5,-3)的对称点的坐标为.
（2）已知平行四边形ABCD的三个顶点A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标.
答案：（1）(6,-9)
解析：（1）设所求对称点的坐标为(x,y)，则x+42=5,y+32=-3,解得x=6,y=-9,故所求对称点的坐标为
(6,-9).
答案：（2）∵平行四边形的对角线互相平分，∴平行四边形对角线的中点坐标相同.
设C点的坐标为(x,y)，
则0+x2=2+12=32,0+y2=0+32=32,即C(3,3) .
解题感悟
中点坐标公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时，一般先根据几何概念提炼出“中点关系”，然后用中点坐标公式列方程或方程组求解.
迁移应用
1.已知平行四边形ABCD的两个顶点A(4,2),B(5,7)，对角线交点为E(-3,4)，求顶点C，D的坐标.
答案：设C点的坐标为(x1,y1)，则由E为AC的中点得解得
-3=4+x12,4=2+y12,，解得x1=-10,y1=6.
设D点的坐标为(x2,y2)，则由E为BD的中点得-3=5+x22,4=7+y22,
解得x2=-11,y2=1.故C点的坐标为(-10,6)，D点的坐标为(-11,1).
探究点三坐标法的应用
精讲精练
例（2020山东滨州高二期末）已知0＜x＜1,0＜y＜1，求证：并求使等号成立的条件.
答案：如图所示，设O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，P(x,y)，显然四边形OABC是正方形.
由于0＜x＜1，0＜y＜1，所以点P是正方形内部任意一点，则|PO|=x2+y2，|PB|=(1-x)2+(1-y)2，|PA|=(1-x)2+y2，|PC|=x2+(1-y)2
由平面几何知识可知|PO|+|PB|≥|OB|，|PA|+|PC|≥|AC|，
因此|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥|OB|+|AC|，又|OB|=|AC|=2，
所以x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2≥22，
当且仅当|PO|+|PB|=|OB|，|PA|+|PC|=|AC|时取等号，
此时点P既在OB上，又在AC上，即P为正方形OABC的中心，故x=y=12 .
解题感悟
（1）把不等式的左端利用两点间的距离公式转化为平面上两点间的距离是解题的关键，构造出正方形后利用平面几何的知识求解.
（2）建立坐标系的原则是“避繁就简”.
迁移应用
1.如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，证明：|AE|=|CD| .
答案：如图所示，以B点为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，
则A(-a,0)，C(c,0)，E(c2,3c2),D(-a2,3a2)，
由两点间的距离公式，得|AE|=(c2+a)2+(3c2-0)2=a2+ac+c2，
|CD|=(-a2-c)2+(3a2-0)2=a2+ac+c2，∴|AE|=|CD| .
评价检测·素养提升
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1.已知A(a,6)，B(-2,b)，C(2,3)，若点C平分线段AB，则a+b等于( )
答案：A
2.已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|=5，则a的值为( )
或2C.-2D.-2或4
答案：D
3.已知△ABC的顶点A(2,3)，B(-1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A.23 B.3+23 C.6+32 D.6+10
答案：C
4.已知A(1,1)，B(4,3)，点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值为 .
答案：5
课标解读
课标要求
素养要求
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式.
2.进一步体会“坐标法”的基本思想，逐步学会用“坐标法”解决有关问题.
直观想象——能用两点间的距离公式及坐标法解决几何问题.