高中人教B版 (2019)2.3.1 圆的标准方程学案

这是一份高中人教B版 (2019)2.3.1 圆的标准方程学案，共7页。

教材研习
教材原句
要点一圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是① |CM|=r，即(x-a)2+( y-b )2=r，两边平方，得(x一a)2+(y-b)2=r2 .（*）
上述充要条件表明，⊙C上任意一点M的坐标(x,y)满足方程（*）；如果平面上一点M的坐标(x,y)满足方程（*），可得|CM|=r，则点M在⊙C上 .因此方程（*）能表示以点③ C(a,b)为圆心，r为半径的圆，（*）式通常称为圆的标准方程.
要点二点与圆的位置关系
如果⊙C的圆心为C(a,b)，半径为r(r>0)，则点M1(x1,y1)在⊙C外的充要条件是(x1-a)2+(y1-b)2>r2；点M2(x2,y2)在⊙C内的充要条件是(x2-a)2+(y2-b)2自主思考
1.圆C的方程为（x+2)2+(y+3)2=3，那么其圆心坐标和半径分别是什么？
答案：提示圆心坐标为(-2,-3)，半径为3 .
2.若圆的方程为(x-a)2+( y-b )2=c2，则此圆的半径一定等于c吗？
答案：提示不一定.圆的半径应为|c| .
3.确定点与圆的位置关系的关键是什么？
答案：提示关键是点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系.
名师点睛
对圆的标准方程的理解
（1）所谓圆的标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径，所以当题目中涉及圆的圆心、半径时，设圆的标准方程解决问题较为方便．
（2）圆的标准方程的右端r2＞0，当方程的右端小于或等于0时，对应的方程不是圆的方程.
（3）圆的标准方程中有三个参变量a、b、r，要求圆的标准方程，一般需要三个独立的条件，列方程组求解a、b、r，然后写出圆的方程；还可根据圆的特点直接写出圆心坐标和半径，然后求出圆的方程．
（4）若圆心在坐标原点，此时a=0,b=0，则圆的方程就是x2+y2=r2 .
互动探究·关键能力
探究点一求圆的标准方程
精讲精练
类型1 直接法求圆的标准方程
例1 （1）已知点A(-4,-5),B(6,-1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29
B.(x-1)2+(y+3)2=29
C.(x+1)2+(y-3)2=116
D.(x-1)2+(y+3)2=116
（2）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线2x-y=0的距离为455，则圆C的标准方程为 .
答案：（1）B（2）(x-2)2+y2=9
解析：（1）易知线段AB的中点坐标为(1,-3)，所以圆心的坐标为(1,-3)，
半径r=(-4-1)2+(-5+3)2=29，故所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29 .
（2）设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)，由题意知，|2a|5=455，解得a=2，∴C(2,0)，
则圆C的半径r=|CM|=22+(-5)2=3 .∴圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9 .
变式若本例（2）中把条件改为“圆C经过点A(-4,-5),B(6,-1)，且圆心在直线x-y+1=0上”，求圆C的标准方程.
答案：因为圆心在直线x-y+1=0上，所以设圆心的坐标为(a,a+1)，由题意知，(a+4)2+(a+6)2=(a-6)2+(a+2)2，解得a=-37，所以圆心坐标为(-37,47)，半径r=21467，故圆C的标准方程为(x+37)2+(y-47)2=214649 .
类型2 待定系数法求圆的标准方程
例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.
答案：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，
则{a2+b2=r2,(1-a)2+(1-b)2=r2,2a+3b+1=0,解得{a=4,b=-3,r=5.∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25 .
解题感悟
（1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；当圆心和半径不易直接确定时，可用待定系数法求解，即先设出圆的标准方程，然后利用题目条件求解方程中的系数.
（2）确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
迁移应用
1.与y轴相切，且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为 .
答案：(x+5)2+(y+3)2=25
解析：∵圆心坐标为(-5,-3)，且圆与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25 .
2.求过M(2,0),N(10,0),P(11,3)三点的圆的标准方程.
答案：设由M,N,P三点确定的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
∴{(2-a)2+b2=r2,(10-a)2+b2=r2,(11-a)2+(3-b)2=r2,解得{a=6,b=3,r2=25,
∴过点M,N,P的圆的标准方程为(x-6)2+(y-3)2=25 .
探究点二点与圆的位置关系
精讲精练
例（1）（2021山东聊城二中高二月考）点A(1,2)与圆C：(x+1)2+(y-2)2=1的位置关系是( )
A.点在圆内B.点在圆外
C.点在圆上D.不能确定
（2）已知点A(1,2)不在圆C：(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部，求实数a的取值范围.
答案：（1）B
解析：（1）圆C的圆心为C(-1,2)，半径r=1，则|AC|=|-1-1|=2＞r，所以点A在圆C外.
答案：（2）由题意知，点A在圆C上或在圆C的外部，∴(1-a)2+(2+a)2≥2a2，
∴2a+5≥0，∴a≥-52，又a≠0，∴a的取值范围是[-52,0)∪(0,+∞) .
解题感悟
（1）判断点与圆的位置关系的方法：①计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较．②把点的坐标代入圆的标准方程中，判断式子两边的大小.
（2）若已知点与圆的位置关系，则可利用以上两种方法列出不等式或方程求解参数的取值范围.
迁移应用
1.点M(0,2)与圆C：(x-a)2+y2=1(a∈R)的位置关系是( )
A.点M在圆C内B.点M在圆C上
C.点M在圆C外D.不确定
答案：C
解析：根据题意，圆C：(x-a)2+y2=1的圆心为C(a,0)，半径为1，则|MC|=a2+4＞1，则点M在圆C外，故选C.
2.已知点M(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围是 .
答案：[0,1)
解析：由题意知，
{a≥0,(5a+1-1)2+(a)2<26,
解得0≤a<1 .
探究点三与圆有关的最值问题
精讲精练
例已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3 .
试求：（1）yx的最值；（2）y-x的最值；（3）x2+y2的最值.
答案：（1）方程表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆，设yx=k，即y=kx .
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时|2k-0|k2+1=3，解得k=±3 .
故yx的最大值为3，最小值为-3.
（2）设y-x=b，即y=x+b .
当直线y=x+b与圆相切时，截距b取得最大值和最小值，
此时|2-0+b|2=3，即b=-2±6 .
故y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6 .
（3）x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方.
由平面几何知识知，在x轴与圆的两个交点处x2+y2取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
故(x2+y2)max=(2+3)2=7+43,(x2+y2)min=(2-3)2=7-43 .
解题感悟
与圆有关的最值问题，常见的类型有以下几种：
（1）形如u=y-bx-a形式的最值问题，可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线的斜率的最值问题.
（2）形如l=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线y=-abx+lb的截距的最值问题.
（3）形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.
迁移应用
1. （2020福建宁德高二期中）已知圆(x-1)2+(y+2)2=1上一点P到直线3x-4y-3=0的距离为d，则d的最小值为( )
A.35 B.45 C.1D.2
答案：A
解析：易知圆(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为(1,-2)，半径为1，
则圆心到直线的距离为|3×1-4×(-2)-3|32+(-4)2=85，则dmin=85-1=35 .
评价检测·素养提升
课堂检测
1.（2021成都石室佳兴外国语学校高二期末）圆(x-1)2+y2=4的圆心和半径分别是( )
A.(-1,0)，2B.(1,0)，2
C.(-1,0)，4D.(1,0)，4
答案：B
2.若点(4a-1,3a+2)不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a满足( )
A.|a|<55 B.|a|<1
C.|a|≤55 D.|a|≤1
答案：D
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
答案：A
素养演练
数学建模——圆的标准方程的实际应用
1.苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测量，某圆拱索桥（如图）的跨度AB=100米，拱高OP=10米，在建造圆拱桥时，每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是（注意：10取3.162）( )
米米
米D.以上都不对
答案：A
解析：审：本题为圆的方程的实际应用问题，应用坐标法求解，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和数学建模思想方法的应用.
联：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，求得点A的坐标，设所求圆的半径为r，由勾股定理可列等式求出r的值，进而可求得圆的方程，然后将x=-30代入圆的方程，求出点
N的纵坐标，进而可计算出MN的长.
解：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知，点A的坐标为(-50,-10)，设圆拱桥弧所在圆的半径为r，
由勾股定理可得① (r-OP)2+OA2=r2即(r-10)2+502=r2，解得r=130，∴圆心坐标为(0,-130)，则圆的方程为② x2+(y+130)2=1302，
将x=-30代入圆的方程得(y+130)2=1302-(-30)2=16000，解得y=±4010-130，
∵y＞-10,∴y=4010-130，∴MN=(4010-130)-(-10)=4010-120≈6.48（米）.
思：解答本题的关键是根据已知条件建立平面直角坐标系，求出圆的方程，然后利用圆的方程解决实际应用问题.课标解读
课标要求
素养要求
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.
1.直观想象、逻辑推理——能探究圆的标准方程及点与圆的位置关系.
2.数学运算——能根据已知条件求圆的标准方程.