人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率第1课时导学案

第1课时直线的倾斜角与斜率

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

—般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与轴① 相交，将轴绕着它们的交点按② 逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的倾斜角;如果这条直线与轴平行或③ 重合，则规定这条直线的倾斜角为 .

2倾斜角的取值范围

倾斜角的取值范围是 .

要点二直线的斜率

1.斜率的定义

一般地，如果直线l的倾斜角为，则当时，称为直线的斜率;当时，称直线的斜率④ 不存在 .

⒉斜率的计算公式

若是直线上两个不同的点，则当时，直线的斜率为，当时，直线的斜率⑤ 不存在 .

自主思考

1.为什么定义中要规定“最小正角”?

答案：提示因为轴在旋转的过程中可以得到无数多个角，只有规定了最小的正角，倾斜角才是唯一确定的，更有利于我们利用倾斜角来研究直线.

2.斜率公式中的与两点在该直线上的位置有关吗?

答案：提示斜率公式中的与两点在该直线上的位置无关，即在直线1上任取不同的两点，斜率均不变.

3.斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以调换吗?

答案：提示斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是，那么分母必须是 ;如果分子是，那么分母必须是，即 .

名师点睛

1.对倾斜角的理解

（1）清楚定义中含有的三个条件：①直线与轴相交;②绕直线与轴的交点按逆时针方向旋转;③与直线重合时所转的最小正角．

（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴正方向的倾斜程度．

（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

2.倾斜角与斜率的关系

（1）当倾斜角是时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于轴(或平行于轴或与轴重合)．

（2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．

（3）直线的斜率也反映直线相对于轴的正方向的倾斜程度．由的图像可知：

当时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大;

当时，斜率越大，倾斜角也越大．

互动探究·关键能力

探究点一直线的倾斜角

精讲精练

例（1）直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为(     )

A. B.

C.或 D.或

（2）已知直线经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(      )

A. B.

C. D.

答案：（1）（2）

解析：（1）如图，当直线向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为 ;当直线向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为 .故选D.

（2）直线倾斜角的取值范围是，因为直线经过第二、四象限，所以直线的倾斜角的取值范围是 .

解题感悟

（1）解答本类题要根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.

（2）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.

迁移应用

1.（2021山东聊城高二期末）已知直线的倾斜角为，则角的取值范围为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：因为直线的倾斜角为所以所以 .

2.如图所示，直线的倾斜角是垂足为与轴分别交于点平分则的倾斜角为．

答案：

解析：因为直线的倾斜角为所以所以的倾斜角为．

探究点二直线的斜率

精讲精练

例已知 .

（1）求直线和的斜率;

（2）若点在线段上（包括端点）移动，求直线的斜率的取值范围．

答案：（1）由斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率．

（2）如图，当由运动到时，直线的斜率由增大到，

∴直线的斜率的取值范围是．

变式把本例中点A的坐标换为（-2,-4），其余条件不变，求直线的斜率的取值范围.

答案：易知，

当由运动到时，直线的斜率由减小，当直线与轴垂直时，直线的斜率不存在，然后继续减小到，所以直线的斜率的取值范围是 .

解题感悟

（1）由两点坐标求斜率运用两点的斜率公式求解.

（2）涉及直线与线段有交点的问题，通常数形结合利用公式求解.

迁移应用

 1.（2021北京西城高二期末）已知点，（3，0），若直线的斜率为，则．

答案： -1

解析：根据斜率公式得，解得 .

探究点三直线的倾斜角与斜率的综合应用

精讲精练

例（1）已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围是(     )

A.

B.

C.或

D.或

（2）若三点在同一条直线上，则的值为 .

答案：（1）（2）-6

解析：（1），

易知当时，或故选C.

（2）

三点共线， .

解题感悟

用斜率公式解决三点共线的方法

迁移应用

1.（2021四川棠湖中学高二月考）在平面直角坐标系中，已知三点共线，则的值为(      )

A.-2B.

C. D.2

答案：

解析：（1，0），，三点共线，

即解得故选C.

2.（2021河北尚义第一中学高二期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：易知，因为，所以，结合正切函数的性质，可得．

评价检测·素养提升

课堂检测

1.下面选项中，由两点确定的直线的斜率不存在的是(     )

A.与 B.与

C.与 D.与

答案：

2.若过两点的直线的倾斜角为，则的值为(     )

A. B. C.-3D.3

答案：

3.若直线经过点（1，2）和点（0，1），则它的倾斜角是(      )

A. B.

C.或 D.

答案：

4.若三点共线，则的值为．

答案：

素养演练

直观想象——利用数形结合的方法求分式的最值

1.已知实数满足，且，求的最大值和最小值.

答案：由题意得点满足关系式且可表示为点在线段上移动，并且A，B两点的坐标分别为，如图所示，

由于的几何意义是直线的斜率，且，

所以的最大值为2，最小值为 .

素养探究：由斜率公式，可知的几何意义是过与两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来解决此类最值问题，在此过程中体现了直观想象的核心素养.