人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质第2课时导学案

第2课时椭圆几何性质的综合问题

互动探究·关键能力

探究点一椭圆中的最值与范围问题

精讲精练

例（1）（2021山东聊城三中高二月考）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为(     )

A.5B.6C.7D.8

（2）椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是(     )

A.  B.  C.  D.

答案：（1）（2）

解析：（1）由椭圆方程得，设，则，

为椭圆上一点，，即，且，

.

，当时，取得最大值6.

（2）易知，设点坐标为，

则，，，于是，

.

.故选B.

解题感悟

求解椭圆的最值问题的基本方法：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解.

（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用的方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等.

迁移应用

1.（2020山东潍坊高二期末）已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，若定点，则的最大值为(     )

A. B.2C. D.3

答案：

解析：由题意可得，解得，

则椭圆的方程为，设椭圆上点的坐标为，则，

故，

当时， .

2.（2020江苏南通高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的动点的坐标为，且为锐角，则的取值范围是(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：易知，，

由为锐角，得，

由点在椭圆上，可得，即，

代入可得，整理得，即，

当时，，不符合题意，舍去，

所以的取值范围是 .

探究点二椭圆上的点与直线的距离有关的问题

精讲精练

例已知椭圆，直线：，求椭圆上的点到直线的最短距离.

答案：由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交.设直线平行于直线且与椭圆相切，如图，则直线的方程可以设成 .

由方程组消去，得 .

由，

解得或 .

由图可知，当时，直线与椭圆的切点到直线的距离最近，

此时直线的方程为 .

则直线与直线间的距离，即为切点到直线的距离.所以，所求的最短距离是 .

解题感悟

本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为平行线间的距离问题，即已知直线与和它平行且与椭圆相切的直线间的距离.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去（或）得到关于（或）的一元二次方程，利用直线与椭圆相切解决问题.

迁移应用

1.在椭圆上求一点，使它到直线：的距离最短，并求出最短距离.

答案：设与椭圆相切并与平行的直线方程为，与联立，

整理得，则，

，故两切线方程为和，易知直线，即距直线最近，距离，

即为切点到直线的最短距离.

由可得故点的坐标为，最短距离为 .

探究点三椭圆的实际应用问题

精讲精练

例某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米.要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）.

（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？

（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？并求出最小土方量.（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1立方米；；；）

答案：（1）

建立平面直角坐标系，如图，则点，设椭圆方程为 .

将米与点的坐标代入椭圆方程，得，

此时米，因此隧道的拱宽约为33.26米.

（2）根据题意，将(11,4.5)代入椭圆方程可得 .

因为（当且仅当时取等号），

所以，

所以，当取最小值时，，得，

此时米，米，

故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小.

最小土方量为立方米.

解题感悟

本题考查椭圆的实际应用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题.

迁移应用

1.（2020福建厦门国祺中学高二月考）某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是近似椭圆的曲线，曾有渔船在与岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群.以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图.

（1）求曲线的标准方程；

（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为5:3，则能否确定处的位置（即点的坐标）？

答案：（1）由题意知曲线C是以为焦点且长轴长为8的椭圆，设该椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，

则，则，，故，所以曲线的方程是 .

（2）因为两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为5:3，

所以鱼群此时距两岛的距离比为5:3，即鱼群与A，B两岛的距离分别为5海里和3海里.

设，易知，由得，

联立解得，所以点的坐标为(2,3)或(2,-3).

评价检测·素养提升

课堂检测

1.在椭圆中，分别为椭圆的左、右顶点，为左焦点，是椭圆上的点，则面积的最大值为(     )

A.16B.32C. D.

答案：

2.已知点是椭圆上任意一点，则点到直线：的最大距离为(     )

A. B.

C. D.

答案：

3.如图所示，“嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的半长轴长分别为，半焦距分别为，则以下四个关系：①，②，③，④中正确的是 .

答案：②③

素养演练

数学运算——换元法在求与椭圆有关的最值中的应用

1.已知点是椭圆上的一个动点.

（1）定点，求的最小值；

（2）求点到直线的距离的最大值.

答案：（1）由点在椭圆上，可设 .，

所以当时，最小，为 .

（2）点到直线的距离

，其中，取锐角.

当时，，即点到直线的距离的最大值为 .

素养探究：本题考查与椭圆有关的最值问题，因为点是椭圆上的一个动点，所以可设，求出和点到直线距离的表达式，结合三角函数知识即可求解.体现了数学运算的核心素养.