河南省焦作市温县一中2021-2022学年高三下学期2月月考理科数学含解析

这是一份河南省焦作市温县一中2021-2022学年高三下学期2月月考理科数学含解析，共21页。试卷主要包含了已知，且与的夹角为，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。

河南省温县一中2021-2022学年高三下学期2月月考
理科数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合,,则（ ）.
A． B． C． D．
2．复数的共轭复数为
A． B．3 C． D．
3．在等差数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知，且与的夹角为，则（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．2020年中秋加国庆8天小长假结束后，根据中商产业研究院的国庆假期旅游统计数据，分别绘制了8个省的接待游客数量（单位：万人次）和旅游收入（单位：亿元）的折线图（分别为图1和图2），根据折线图，下列叙述错误的是（ ）

A．河南省的接待游客数量在这8个省中排名第一，江西省的接待游客数量排名第二
B．河南、江西、湖北三省的旅游收入的平均数和江苏、陕西、福建三省的旅游收人的平均数相差不到1亿元
C．贵州省的旅游收入在这8个省中排名第三
D．这8个省的旅游收入的中位数高于河南省的旅游收入
7．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．55 C．30 D．25
8．已知两条不同的直线和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①④
9．已知函数，有两个相邻的极值点分别为和，为了得到函数的图象，只需将图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10．若 在直线上移动,则 的最小值是
A． B． C． D．
11．下列命题中的假命题是（ ）
A．对于命题，，则
B．抛物线的准线方程是
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若两直线与平行，则它们之间的距离为
12．已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知＝（1，2），＝（0，﹣1），则在方向上的投影为　 　．
14. 等比数列前n项和为，若，，则________．
15. 已知实数，满足，则的取值范围是_______．
16．已知函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是________ ．
三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（12分）已知等差数列的前项和为，且，.数列满足.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证.
18.（12分）叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
19.（12分）团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量．最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）．

是
否
合计
青年
40
10
50
中年
30
20
50
合计
70
30
100
（1）是否有的把握认为看此电影与年龄有关？

（2）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率；
（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差．





20.（12分）已知椭圆C：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为
A（﹣3，0），B（3，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积之比是否为定值．
21.（12分）已知函数（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g（x）＝f（x）2x+（a﹣1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且
g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．






说明：请在22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做第一题记分．
22．（10分）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：．
（1）求C的直角坐标方程和l的普通方程；
（2）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．


23．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|（a∈R）．
（1）当a＝4时，解不等式f（x）＜8；
（2）记关于x的不等式f（x）≤2|x﹣3|的解集为M，若[﹣4，﹣1]⊆M，求a的取值范围．























理科数学答案

1．B
【分析】
根据二次不等式的方法求解集合,再求解即可.
【详解】
,故.即.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.
2．B
【详解】
分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解，然后推出结果.
详解：，所以，故选B.
点睛：该题考查的是复数的乘法运算以及共轭复数，在解题的过程中，需要掌握复数的乘法运算法则，以及明确共轭复数的概念.
3．D
【分析】
根据等差中项可求得结果.
【详解】
由得，所以，
所以.
故选：D
4．A
【分析】
先求，再利用求出.
【详解】
解：且与的夹角为，


故
故选：A．
【点睛】
向量的模运算的常用方法：
（1）定义法；（2）坐标法；（3）用求模.
5．C
【分析】
由诱导公式求出，从而由二倍角的余弦公式计算可得．
【详解】
解：，即有，
．
故选：．
6．D
【分析】
本题主要考查读图分析能力，结合两图分析，即可作出判断.
【详解】
由图1可知，河南省的接待游客数量在这8个省中排名第一，江西省的接待游客数量排名第二，A正确；
由图2可知，河南、江西、湖北三省的旅游收入的平均数为（亿元），江苏、陕西、福建三省的旅游收入的平均数为（亿元），显然相差不到1亿元，B正确；
由图2可知，贵州省的旅游收入在这8个省中排名第三，C正确；
由图2可知，这8个省的旅游收入的中位数为（亿元），显然低于河南省的旅游收入（亿元），D错误．
故选：D.
7．B
【分析】
所求分成两种情况
①1名教师，2名学生
② 2名教师，1名学生
对每种情况分类计算相加即可
【详解】
所求分成两种情况
①1名教师，2名学生时，有种
② 2名教师，1名学生时，有种
共25种
故选：B
【点睛】
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
8．A
【分析】
根据线面、面面的关系一一判断；
【详解】
解：因为两条不同的直线和不重合的两个平面，且，
对于①，由，可得，故①正确；
对于②，若，可得，故②正确；
对于③，若，则有可能，故③错误；
对于④，当时，则有可能，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故选：A．
9．C
【分析】
由两个相邻的极值点分别为和可求得周期，再将点代入，结合可求得值，进而求得表达式，将不同名的余弦函数转化成正弦函数，结合函数图像平移变换的性质，即可求得
【详解】
解：∵∴，将点代入，得，
从而或，∵∴．
因此变换到只需向左平移个单位长度．
答案选C
【点睛】
本题考查三角函数解析式的求法，三角函数诱导公式的使用，三角函数图像的平移变换综合性强，但难度不大，平移变换的前提是函数同名
10．B
【详解】
因为,所以.
11．B
【分析】
对A，根据特称命题的否定是全称命题可判断；对B，可得抛物线准线方程为；对C，解出可判断；对D，求出直线间距离可判断.
【详解】
对A，根据特称命题的否定是全称命题可判断A是真命题，不符合题意；
对B，抛物线的标准方程为，准线方程为，故B是假命题，符合题意；
对C，由可解得或3，所以“”是“”的充分不必要条件，故C是真命题，不符合题意；
对D，直线可化为，两直线距离为，故D是真命题，不符合题意.
故选：B.
12．C
【分析】
由题意知，，即中，进而求出，又中可求，可得渐近线的倾斜角大小，进而求离心率.
【详解】
由题意，可得如下示意图：

其中，知：，又，，即且，
∴中，有，得，
∴在中，，若与x轴夹角为，即，
∴，由，即可得.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：利用线段的比例关系，以及垂直关系求两渐近线的夹角大小，进而根据渐近线的斜率求参数a、b的数量关系，即可求离心率.
13. ﹣2 14. 15. 16.

17．已知等差数列的前项和为，且，.数列满足.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证.
【解答】(1)设公差为，
由题可知： …………………………（2分）
当时，， ………………………………（3分）
当时， ， ……………………（5分）
………………………………（6分）
（2）

………………………………（7分）
………………………………（10分）
………………………………（12分）
18． 叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(1) 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
………………………………（1分）
已知于点，求证：.
………………………………（2分）
证明：在内引直线，则是二面角的平面角。
………………………………（4分）
由可知：
又
………………………………（6分）
(2)已知，求证. ………………………………（7分）
证明：在内任取一点，过在内作于，于
由上述定理可知：
………………（10分）
………………（11分）
同理可得. ………………（12分）
19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量．最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调数据如表（单位：人）．

是
否
合计
青年
40
10
50
中年
30
20
50
合计
70
30
100
（1）是否有的把握认为看此电影与年龄有关？
（2）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率：
（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差．
【解答】解：（1） …………………（2分）
所以有的把握认为看此电影与年龄有关. ………………………（3分）
（2）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中，
观看过电影的有（人），没观看过的有2人， …………………………（4分）
记抽取的3人中有i人观看过电影为事件Ai（i＝1，2，3）．
则，， …………………………（6分）
从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影的概率为：． ………………………………（8分）
（3）由题意知，观看过该电影的频率为，将频率视为概率，…………………（9分）
则随机变量ξ服从二项分布，所以随机变量ξ的数学期望为，
………………………………（11分）
方差为． ………………………………（12分）
20．已知椭圆C：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（﹣3，0），B（3，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积之比是否为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，a＝3，又e，∴c， …………………（2分）
则b． …………………………（3分）
∴椭圆C的方程为 ………………………………（4分）
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则．
∴直线AP的方程为，
取x＝4，可得点E（4，）， ………………………………（5分）
∵直线BE的斜率为，
∴直线l的方程为， ………………………………（6分）
又直线PB的方程为，
联立直线l与PB的方程，消去y得，
∴，① ……………………………（8分）
∵，∴， ………………………………（9分）
代入①解得点N的横坐标，即N点轨迹方程为： ……………（10分）
∴．
故△BMO与△NMO的面积之比为4：7． ………………………………（12分）
21．已知函数f（x）＝x﹣aex（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g（x）＝f（x）2x+（a﹣1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且
g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解（1）因为数f（x）＝x﹣aex（a∈R），所以f′（x）＝1﹣aex．…（1分）
当a≤0时，因为ex＞0，
所以f′（x）＞0，此时函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．…………（2分）
当a＞0时，令f′（x）＝0，
解得x＝ln．
当x时，f′（x）＞0，当x时，f′（x）＜0．…………………………（4分）
此时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），f（x）的单调递减区间为（ln）．
综上所述：当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），f（x）的单调递减区间为
（ln）． ………………………………（5分）
（2）因为g（x）＝f（x）2x+（a﹣1）x，
所以g′（x）＝e2x﹣aex+a． ………………………………（6分）
依题意，，解得a＞4． ………………………………（7分）
因为x1和x2是g（x）的极值点，所以，
则x1+x2＝lna． ………………………………（8分）
所以g（x1）+g（x2）＝（）+（），
，
＝alna﹣a．
所以，由g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2），
可得alna﹣a＞λlna①，
因为a＞4，lna＞0，
所以①等价于． ………………………………（10分）
令φ（x）＝x，
则φ′（x），（x∈（4，+∞）），
由于， ………………………………（11分）
所以φ′（x）＞0，
所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，且φ（4）＝4．
所以，φ（a）．
所以λ的取值范围是． ………………………………（12分）
22．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程和l的普通方程；
（Ⅱ）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线的普通方程为x+y﹣1＝0． ………………………………（2分）
曲线C的极坐标方程是：，根据，转换为直角坐标方程为． ………………………………（5分）
（Ⅱ）P（0，1）在直线l上，把直线的参数方程为（t为参数）代入，
得到， ………………………………（8分）
所以． ………………………………（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|（a∈R）．
（1）当a＝4时，解不等式f（x）＜8；
（2）记关于x的不等式f（x）≤2|x﹣3|的解集为M，若[﹣4，﹣1]⊆M，求a的取值范围．
【解答】解：（1）a＝4时，f（x）＝|x﹣4|+2|x+1|，
不等式可转化为， ………………………………（2分）
若f（x）＜8，
或或 ………………………………（3分）
解得：﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x＜2或x∈∅， ………………………………（4分）
综上，不等式的解集是（﹣2，2）． ………………………………（5分）
（2）若[﹣4，﹣1]⊆M，f（x）≤2|x﹣3|，
即当x∈[﹣4，﹣1]时，|x﹣a|+2|x+1|≤2|x﹣3|恒成立， ………………………………（6分）
∵在[﹣4，﹣1]上，x+1≤0，x﹣3≤0，
∴|x+1|＝﹣x﹣1，|x﹣3|＝3﹣x，
∴f（x）≤2|x﹣3|等价于|x﹣a|≤8，即﹣8≤x﹣a≤8，………………………………（8分）
∵当x∈[﹣4，﹣1]时该不等式恒成立，
∴， ………………………………（9分）
解得﹣9≤a≤4．
即a的范围是[﹣9，4]． ………………………………（10分）