安徽省黄山市2022届高三上学期第一次质量检测理科数学含解析

黄山市2022届高中毕业班第一次质量检测

数学（理科）试题

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题）

1. 设复数，则复数的虚部是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由复数的四则运算求出，从而得出虚部.

【详解】

∴的虚部为

故选：D

2. 命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．

【详解】命题”为假命题，命题“，”为真命题，

当时，成立，

当时，，故方程的解得：，

故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B满足题意.

故选：B

3. 设集合， ，则（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合交补集定义运算即可．

【详解】由，或

所以或

故选：C

4. 连续函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】当时，由可得；

当时，由可得.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

因为可得，即，

所以，解得.

故选：D.

5. 在长方体中，和与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，若设，则可表示出的长，连接，则为异面直线和所成角，然后利用余弦定理可求得结果

【详解】连接，则∥，

所以为异面直线和所成角，

因为在长方体中，和与底面所成的角分别为30°和45°，

所以，

设，则，所以，，

在中，由余弦定理得，

，

所以异面直线和所成角的余弦值为，

故选：B

6. 现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，则不同的安排方案有（    ）

A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种

【答案】C

【解析】

【分析】这3个小区分别有1人、1人、3人的情况，有种不同的安排方法；）这3个小区分别有1人、2人、2人的情况，有种不同的安排方法，根据分类加法原理可求得答案.

【详解】解：将将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，则有：

（1）这3个小区分别有1人、1人、3人的情况，则有种不同的安排方法；

（2）这3个小区分别有1人、2人、2人的情况，则有种不同的安排方法；

所以不同的安排方案共有种，

故选：C.

7. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由函数的最小正周期可求得的值，再由已知条件可求得实数的值，再利用正弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以，，

则，所以，，，

故，可得，

所以，，

对于A选项，当时，，

故函数在区间上不单调；

对于B选项，当时，，

故函数在区间上单调递增；

对于C选项，当时，，

故函数在区间上不单调；

对于D选项，当时，，

故函数在区间上不单调.

故选：B.

8. 我们规定，一个平面封闭图形的周长与面积之比称作这个平面图形的“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形，最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（    ）

A.  B. 3 C. 6 D.

【答案】B

【解析】

【分析】设两个小圆的半径分别为，不妨设，则，根据面积比的几何概型，列出方程求得，进而求得阴影部分的周长和面积，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，设两个小圆的半径分别为，不妨设，

因为大圆的半径为，则，

最大半圆的面积，

阴影部分的面积为，

又由在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，

可得，整理得，

解得，又由，所以，

所以阴影部分的周长为，

所以.

故选：B

9. “斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现，该数列满足：，，（，），若，则其前2022项和为（    ）

A. G B.  C. -G D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据写出两个等式后再联合即可求解.

【详解】由，可得

…①

…②

①+②得，

化简得.

故选：D

10. 已知，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由得，令，求导分析单调性与极值，依题意得有三个不同解，即可求解．

【详解】由得

令，则

当或时，当时，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

且，

因为曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴

所以有三个不同解，故

故选：D

11. 已知椭圆C：的焦点为，，第一象限点在C上，且，则的内切圆半径为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的定义可知，由椭圆方程可知,进而利用向量数量积的坐标运算和第一象限点在C上可求出点的纵坐标，最后利用内切圆的性质和三角形面积公式即可求出答案.

【详解】由已知条件得，，，则,,

设点的坐标为，则，，

，即①，

∵第一象限点在C上，∴则，即②，联立解得,

由椭圆的定义得，

设的内切圆半径为，则，

又∵,

∴，即.

故选：

12. 已知，，，则它们的大小关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数可证，又，可得，即可证．

【详解】由

令，则，当，；当，；

所以在上单调递增，在上单调递减，且

则，因此，所以

又因为，所以，得

故，有

故选：C

二､填空题（本题共4小题每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）

13. 已知向量，，，则实数k的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据两个向量垂直其数量积为，列出等式求解即可.

【详解】因为，所以，即，

又因为，，所以，，

所以，解得

故答案为：

14. 已知双曲线E：的一个焦点与抛物线C：的焦点相同，则双曲线E的渐近线方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】抛物线C的焦点为可得双曲线E的一个焦点为，解得，

得到双曲线方程可得答案.

【详解】抛物线C：的焦点为，

所以双曲线E：的一个焦点为，

所以，，解得，

即，

则双曲线E的渐近线方程为即.

故答案为：.

15. 已知数列满足，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用累乘法可求得数列的通项公式，利用错位相减法可求得，即可求得所求代数式的值.

【详解】因为数列满足，，则，

所以，当时，，

也满足，所以，对任意的，.

令，则，

可得，

上述两个等式作差得，

所以，，

因此，.

故答案为：.

16. 如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，则该四棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先由线面垂直判定定理证明平面，进而建立空间直角坐标系，根据球心的性质列出方程得出球心坐标，再求出平面的法向量，最后由向量法得出四棱锥外接球的球心到面的距离，再计算出半径即可求解.

【详解】该几何体的直观图如下图所示

分别取的中点，连接

又，所以由线面垂直的判定定理得出平面

以点为坐标原点，建立空间直角坐标系

，

设四棱锥外接球的球心

，，解得

设平面的法向量为

，取，则

四棱锥外接球的球心到面的距离为

又，所以平面PBC所截的圆的半径

所以平面PBC所截的圆面的面积为.

故答案为：

三､解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）

17. 的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，面积为2，求．

【答案】（1）；（2）2．

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.

试题解析：（1），∴，∵，

∴，∴，∴；

（2）由（1）可知，

∵，∴，

∴，

∴．

18. 如图①，在梯形ABCD中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，如图②.

（1）证明：平面；

（2）若平面平面BCDE，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明平面，再根据，即可证明结论；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，然后求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式求得答案．

【小问1详解】

在图①中，因为，，是的中点，，

故四边形正方形，所以

即在图②中，，，又，

所以平面.

又，所以四边形是平行四边形，

所以，所以平面.

小问2详解】

由已知，平面平面，又由（1）知，，，

所以为二面角的平面角，所以，

如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.，

设平面的一个法向量为，

，令

故平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，，

，令，

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

从而，

由图得二面角为钝角，

故二面角的余弦值为.

19. 在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）.

①求的值；

②利用该正态分布，求或；

（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.

参考数据与公式：.若，则，，.

【答案】（1）①；②；（2）分布列答案见解析，数学期望为.

【解析】

【分析】（1）①将每组左端点值乘以对应的频率，相加即可得出的值；

②计算得出，，利用原则可求得或的值；

（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.

【详解】（1）①；

②，所以，，，

所以，或

；

（2），由题意可知随机变量的可能取值有、、、、，

，，，

，，

.

20. 设椭圆C：的左右焦点分别为､，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，又椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设斜率为正数的直线l与椭圆C交于M，N两点，作轴于点G，O为坐标原点，若，求△面积的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出抛物线的焦点即可得，由椭圆的离心率为可得，即可求出，故即可求得椭圆的方程；

（2）设出直线的方程及其直线与椭圆交点M，N的坐标，将椭圆方程与直线方程联立消去即可得到关于的一元二次方程，由可得，利用韦达定理求出两根之和、两根之积、的表达式，利用向量垂直的坐标式可得，代入化简即可得到，即可求出，利用三角形的面积公式，用表示出△的面积，即可求得的取值范围.

【小问1详解】

由已知得抛物线的方程为，则其焦点为，

∵焦点就是椭圆短轴的一个端点，∴.

∵椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为，∴椭圆的离心率，

即，解得，，

则椭圆C的方程为.

【小问2详解】

设，直线的方程为，

代入椭圆方程并化简得：

依题意得，化简得①

且，

.

由得，

即，

即，

即，

化简得②

由①②可得，

又原点到直线的距离，

.

，则，

即

则当，即时，，又∵.

∴△面积的取值范围是.

21. 已知函数，

（1）求函数的最小值；

（2）设函数的两个不同极值点分别为，.

（i）求实数a的取值范围；

（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（这里为自然对数的底数）.

【答案】（1）.   

（2）（i）；（ii）.

【解析】

【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，得出的单调性，从而求得最小值；

（2）（i）由题意得，求导函数，由题可得有两个不等实数根.分离参数，原问题等价于函数图象在有两个不同的交点，运用导函数分析的单调性和最值，由此求得a的范围；

（ii）由（i）可知：是方程的两个实数根，且.代入分离参数得， 令，等价于在恒成立.令，求导函数，分，讨论导函数的符号，得函数的单调性和最值，可得正数的取值范围.

【小问1详解】

解：（1）由题可知：，

，

由

在为减函数，在增函数

的最小值为.

【小问2详解】

解：（i）由题，定义域为.

则，由题可得有两个不等实数根.

于是有两个不同的实数根，等价于函数图象在有两个不同的交点，

所以在递增，在递减.又，有极大值为，，所以可得函数的草图（如图所示）.

所以，要使函数图象在有两个不同的交点，当且仅当.

（ii）由（i）可知：是方程的两个实数根，且.

则.

由于，两边取自然对数得

，

令，则在恒成立.

所以在恒成立.

令，则.

①当，即时，，在递增，所以恒成立，满足题意.

②当时，在递增，在递减，

所以，当时，

因此，在不能恒成立，不满足题意.

综上所述，.

22. 已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）

（1）当直线l的倾斜角为时，求出该直线的参数方程并写出曲线C普通方程；

（2）直线l交曲线C于A､B两点，若，求直线l的斜率.

【答案】（1）（为参数），.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知求得直线的参数方程，再由极坐标与平面直角坐标的转化公式求得曲线C普通方程；

（2）将直线的参数方程为（为参数），代入得：.设对应的参数分别为，由弦长公式建立方程求解即可.

【小问1详解】

解： 直线的倾斜角为，直线的参数方程为（为参数），

又由得，，

化简得曲线的普通方程为.

【小问2详解】

解：将直线的参数方程为（为参数），代入得：

.

设对应的参数分别为，则

解得：.

23. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设不等式的解集为，若，，求的取值范围．

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】(1)利用零点讨论法解绝对值不等式得解；（2）若，则问题转化为|在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，所以.

【详解】时，，

若，时，，解得：，故，

时，，解得：x≤1，故﹣1＜x＜1，

x≤﹣1时，，解得：，故，

综上，不等式的解集是；

若，

则问题转化为|在恒成立，

即，

故，

故在恒成立，

即在恒成立，

故，

即的范围是．

【点睛】本题主要考查利用零点讨论法解绝对值不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.