一轮复习大题专练34—数列（裂项相消求和2）-2022届高三数学一轮复习

一轮复习大题专练34—数列（裂项相消求和2）

1．已知数列的前项和为，已知，且当，时，．

（1）证明数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

（1）证明：由题意，当时，，

即，

，

整理，得，

，，

，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列．

（2）解：由（1）知，，

则，，，，，

各项相加，可得，

，

故

．

2．已知数列的前项和为，，设．

（1）求数列的通项公式；

（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由．

（3）求数列的前项和．

解：（1）已知①，

当时，，解得，

当时，②，

①②得：，整理得（常数），

所以．

（2）由（1）得：，

所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，

故为等差数列．

（3）由于，

所以．

3．已知数列的前项和为，且满足．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）记，求数列的前项和．

解：（1）证明：由，

可得，解得，

时，，

可得，

则，

所以数列是首项和公比均为2的等比数列；

（2）由（1）可得，

则，

所以

．

4．已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

解：（1）由，

可得，

则数列是首项为，公差为1的等差数列，

则，

即；

（2），

．

5．已知正项等差数列的前项和为，满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记数列的前项和，求．

解：（1）设等差数列的公差为，

则由，得

相减得，

即，

又，所以，

由，得，

解得，舍去）

由，得；

（2），

6．已知两个正项数列和．其中是等差数列，且满足，，，三个数成等比数列．，．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，，．求数列的前项和．

解：（Ⅰ）是等差数列，且满足，，，三个数成等比数列．

所以，

整理得．

．

易知，

，

，

由于

当时，，

．

当时，．

对也成立．

．

（Ⅱ），

．

．

7．已知两个正项数列和．其中是等差数列，且满足，，，

28．设等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和．

解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，

由，可得，

化为，即；

由，，成等差数列，可得，

即有，解得，

所以；

（Ⅱ），

所以

．