高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程练习，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．以坐标原点为顶点，直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
2．若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是 ( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x＜0)
3．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>\f(p,2)))，则点M的横坐标是( )
A．a＋eq \f(p,2) B．a－eq \f(p,2)
C．a＋p D．a－p
4．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11.25 cm B．5.625 cm
C．20 cm D．10 cm
二、填空题
5．已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．
6．抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________；准线方程为________．
7．若抛物线y2＝4x上有一点P到焦点F的距离为5，且点P在直线x＋y－3＝0的上方，则点P的坐标为________．
三、解答题
8．根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点到准线的距离是5；
(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.
9．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))，求抛物线和双曲线的方程．
[尖子生题库]
10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
课时作业(二十三) 抛物线的标准方程
1．解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，由eq \f(p,2)＝1，得p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x，故选D.
答案：D
2．解析：∵点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.
答案：C
3．解析：设抛物线上点M(x0，y0)，如图所示，
过M作MN⊥l于Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(l是抛物线的准线x＝－\f(p,2)))，连MF.根据抛物线定义，|MN|＝|MF|＝a，∴x0＋eq \f(p,2)＝a，
∴x0＝a－eq \f(p,2)，∴选B.
答案：B
4．解析：
如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)，因为A(40,30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝eq \f(45,4)，∴光源到反光镜顶点的距离为eq \f(p,2)＝eq \f(\f(45,4),2)＝eq \f(45,8)＝5.625 cm.
答案：B
5．解析：由抛物线方程，可知其准线方程为y＝－1，所以点P的纵坐标为4，代入抛物线方程可知横坐标为±4.
答案：±4
6．解析：抛物线x＝ay2(a≠0)可化为y2＝eq \f(1,a)x(a≠0)．①当a>0时，eq \f(p,2)＝eq \f(1,4a)，抛物线开口向右，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,4a).②当a<0时，eq \f(p,2)＝－eq \f(1,4a)，抛物线开口向左，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,4a).故不论a>0，还是a<0，焦点坐标都是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0))，准线方程都为x＝－eq \f(1,4a).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0)) x＝－eq \f(1,4a)
7．解析：设P点的坐标为(x，y)，
由已知得eq \f(p,2)＝1，|PF|＝x＋eq \f(p,2)＝5.
故x＝4，
因为点P在直线x＋y－3＝0的上方．
所以点P的坐标为(4,4)．
答案：(4,4)
8．解析：(1)由题意知p＝5，则2p＝10，
因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，
所以四种类型的抛物线都有可能，故方程为y2＝10x或y2＝－10x或x2＝10y或x2＝－10y.
(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
由|AF|＝3，得eq \f(p,2)＋2＝3，所以p＝2，
所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.
9．解析：因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1.
10．解析：(1)如图，
易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为eq \r(5).
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2eq \r(3).
因为2eq \r(3)＞2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.
此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.