高中人教B版 (2019)8.2.4 三角恒等变换的应用第1课时学案

8．2.4　三角恒等变换的应用

第1课时　半角公式

[课程目标] 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．

2．掌握半角公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．

[填一填]

1．半角公式

sin＝±(S)；

cos＝±(C)；

tan＝±(T)．

2．半角公式的推导

在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α，cos2α＝2cos2α－1中，用代替α得cosα＝1－2sin2，cosα＝2cos2－1.

由此得cos＝±(C)，

sin＝±(S)．

上面两式的两边分别相除，可得

tan＝±(T)．

3．半角正切公式的有理形式

根据正切函数的定义，得tan＝＝，tan＝＝，由此得到半角正切公式的有理形式：tan＝，tan＝.

[答一答]

1．应用半角的正弦、余弦公式时应注意哪些问题？

提示：(1)半角是相对于α而言的，＋＝2(＋)，即＋是＋的一半，α＋＝2(＋)＝4(＋)＝…，要正确理解倍角与半角的关系．

(2)C，S前的正负号是由所在的象限确定的，在没有给出决定符号的条件时，应在根号前保留正负两个符号；如果题目中给出角α的具体范围，则先求出所在的范围，然后再根据所在的范围确定符号．

2．应用半角的正切公式时应注意哪些问题？

提示：公式tan＝不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与公式tan＝±和tan＝的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k＋1)π(k∈Z)，而第一个公式除α≠(2k＋1)π(k∈Z)之外，还必须有α≠2kπ(k∈Z)．当然，这三个式子可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用．

C，S，T可以变形为cos2＝，sin2＝，tan2＝，从左向右为降幂，从右向左为升幂．使用这些变形公式，可以进行角之间的转化，可以将三角函数的次数降低或升高，从而达到证明或化简的目的．

3．怎样确定半角公式中根号前的正负号？

提示：确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号原则：

(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．

(2)若给出角α的具体范围(既某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围确定符号．

(3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据下表确定符号：

4.什么是万能公式？

提示：sinα＝，cosα＝，

tanα＝.

类型一　三角函数式的求值

 [例1]　求下列各式的值：

(1)tan＋；

(2)·.

[分析]　运用半角正切公式tan＝±＝＝，为避免符号的选择，最好选用后面的两个公式．

[解]　(1)原式＝＋

＝＋＝＋

＝1＋＋.

(2)解法1：原式＝·

＝－2··tan10°＝－2.

解法2：原式＝·

＝·

＝－·＝－2.

解法3：原式＝·

＝·

＝·＝－2.

[变式训练1]　(1)求值：sincos；

(2)设π<θ<2π，cos＝a，求

①sinθ的值；②cosθ的值；③sin2的值．

解：(1)sincos＝sin＝

＝＝＝.

(2)①∵π<θ<2π，∴<<π，

又cos＝a，∴sin＝＝，

∴sinθ＝2sincos＝2a.

②cosθ＝2cos2－1＝2a2－1.

③sin2＝＝.

类型二　　三角函数式的化简

 [例2]　化简＋

.

[解]　∵π<α<2π，∴π<<π，

∴＝＝sin，

＝＝－cos，

＝＝－，

＝＝sin－cos.

∴原式＝＋

＝

＝＝＝2tanα.

 [变式训练2]　已知π<α<，化简

＋.

解：因为π<α<，所以<<，利用半角公式可得，

＝＝－cos，

＝＝sin.

所以原式＝＋

＝＋

＝－cos.

类型三　　三角函数式的证明

 [例3]　求证＝sin2α.

[分析]　从函数名称上看可以先切化弦．在切化弦时，用tan＝，也可用tan＝＝进行．

[证明]　证法1：左边＝

＝＝

＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．

故原式成立．

证法2：左边＝

＝

＝＝＝sin2α＝右边．

故原式成立．

证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.常用的方法有定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等.

[变式训练3]　求证：sin2－1＝－.

证明：由sin＝±，

知sin＝±，

∴sin2＝，

∴sin2－1＝－1＝－，

原等式得证．

类型四　半角公式的综合应用

[例4]　设a＝(1＋cosα，sinα)，b＝(1－cosβ，sinβ)，c＝(1,0)，其中α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，其中θ1，θ2∈(0，)，且θ1－θ2＝，求sin的值．

[分析]　通过向量的夹角公式表示出θ1，θ2的余弦值，并用α，β表示θ1，θ2，结合条件及半角的正弦公式即可求解．

[解]　a＝

＝2cos，

b＝

＝2sin.

∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，

∴∈，∈，

故|a|＝2cos，|b|＝2sin，

cosθ1＝＝＝cos，

cosθ2＝＝＝sin＝cos.

∵0<<，0<－<，

∴θ1＝，θ2＝－.

又θ1－θ2＝，∴－＋＝，故＝－，

∴cos＝cos＝，

∴sin＝－＝－.

[变式训练4]　已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根为tanα，tanβ，且α，β∈，求tan的值．

解：∵由根与系数的关系可知

且a>1，∴＝.∴tan(α＋β)＝.

又∵－<α<0，－<β<0，

∴－π<α＋β<0，

∴sin(α＋β)＝－，cos(α＋β)＝－，

∴tan＝＝－2.

1．tan15°＋等于(　C　)

A．2　　　　B．2　　　C．4　　　　D.

解析：tan15°＋＝＋＝2－＋2＋＝4.

2．cosθ＝－，<θ<3π，则sin＝(　D　)

A.  B．－  C.  D．－

解析：∵<θ<3π，∴<<，∴是第三象限角，

∴sin＝－＝－＝－.

3．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin的值等于(　D　)

A．－   B.

C.   D．－

解析：∵5π<θ<6π，∴<<3π，<<，∴sin＝－＝－.

4．设π<α<3π，cosα＝m，cos＝n，cos＝p，则下列各式中正确的是①.

①n＝－；②n＝；③p＝；

④p＝－.

解析：由题得<<，∴cos＝－，

即n＝－.∵<<，∴cos的符号不能确定．