高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 一次函数的图象与直线的方程多媒体教学课件ppt

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第一章2021内容索引课前篇 自主预习课堂篇 探究学习课前篇 自主预习激趣诱思交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k= .k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么坡度是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?知识点拨一、直线的倾斜角 名师点析倾斜角还可以这样定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角;并规定,与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.对于平面直角坐标系中的每一条直线l,都有唯一确定的倾斜角α与之对应.微练习1如图所示,直线l的倾斜角为(　　)A.45°　　　B.135°　　　C.30°　　　D.不存在答案 B 微练习2直线x=1的倾斜角α= .答案 90°二、直线的斜率在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则称 为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率.显然,若直线l垂直于x轴,则它的斜率不存在;若直线l不与x轴垂直,则它的斜率存在且唯一,因此,我们常用斜率来表示直线的倾斜程度.名师点析1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成 ,即下标的顺序一致.微思考运用斜率公式计算直线AB的斜率时,需要考虑A(x1,y1),B(x2,y2)的顺序吗?微判断(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.(　　)(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(　　)(3)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.(　　)×××三、直线斜率与倾斜角的关系1.斜率与倾斜角的关系由正切函数的概念可知,倾斜角不是 的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tan α.2.斜率与倾斜角的对应关系 微思考1直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗?提示 不是,当倾斜角为90°时,直线的斜率不存在.微思考2直线的倾斜角越大,斜率就越大吗?微练习已知直线l的斜率k=-1,则其倾斜角α=　　　　　. 答案 135°四、直线的斜率与方向向量的关系 若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量,若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率名师点析1.如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定共线.2.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则是直线l的一个方向向量.3.一般地,如果已知a=(u,v)是直线l的一个方向向量,则:(1)当u=0时,显然直线的斜率不存在,倾斜角为90°.(2)当u≠0时,直线l的斜率存在,且(1,k)与a=(u,v)都是直线l的方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,微思考设l是平面直角坐标系中的一条直线,且倾斜角为45°,你能写出该直线的方向向量吗?提示 (1,1).微练习(1)已知直线过两点A(-1,-2),B(3,2),试写出直线的一个方向向量v=　　　　　　　. (2)直线l的一个方向向量a=(1,1),则直线l的斜率是　　　　. 答案 (1)(4,4)(答案不唯一)　(2)1 解析 (1)根据方向向量的定义可知直线的一个方向向量为 =(3-(-1),2-(-2))=(4,4),∴取v=(4,4).课堂篇 探究学习例1设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　)A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°答案 D 解析 根据题意,画出图形,如图所示: 因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.反思感悟 求直线的倾斜角的方法及两点注意1.方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.2.两点注意:(1)当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.(2)注意直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.变式训练1 已知直线l1的倾斜角为α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°, 直线l2与x轴交于点B,如图所示,求直线l2的倾斜角.解 ∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°,l2与x轴交于点B,∴直线l2的倾斜角∠ABx=120°+15°=135°.例2如图所示,直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2).(1)试计算直线l1,l2,l3的斜率;(2)若还存在点Q4(a,3),试求直线PQ4的斜率.解 (1)由已知得,直线l1,l2,l3的斜率都存在.设它们的斜率分别为k1,k2,k3.则由斜率公式得(2)当a=3时,直线PQ4与x轴垂直,此时其斜率不存在. 反思感悟 1.求斜率时要注意斜率公式的适用范围,若给出直线上两个点的坐标,首先要观察横坐标是否相同.若相同,则斜率不存在;若不相同,则可使用斜率公式.若给出两个点的横坐标中含有参数,则要对参数进行分类讨论,分类的依据便是“两个横坐标是否相等”.2.由例题中图可以看出:(1)当直线的斜率为正时(l1),直线从左下方向右上方倾斜;(2)当直线的斜率为负时(l2),直线从左上方向右下方倾斜;(3)当直线的斜率为0时(l3),直线与x轴平行或重合.变式训练2已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1).(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的变化范围.解 (1)由斜率公式得 ∵直线倾斜角的取值范围是[0,π),又tan 0=0,∴直线AB的倾斜角为0.(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕点C旋转,当直线CD由CA按逆时针方向旋转到直线CB时,直线CD与线段AB恒有交点,即点D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为例3已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?(2)直线l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,解得 m=1.延伸探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围. 解 由题意知 延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何? 反思感悟 1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tan α(α≠90°)解决.2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k= (x1≠x2)求解.3.涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.答案 C 例4已知直线l通过点A(1,2),B(4,5),求直线l的一个方向向量,并确定直线l的斜率与倾斜角.解 =(4-1,5-2)=(3,3)是直线l的一个方向向量,因此直线的斜率k=1,直线l的倾斜角θ满足tan θ=1,从而可知θ=45°.变式训练4已知直线l经过点M(3,3)和N(2,3+ ),求直线l的一个方向向量,并求直线l的斜率和倾斜角.一题多解——利用斜率解决反射问题典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.解 (方法1)设Q(0,y),则由题意得kQA=-kQB. (方法2)设Q(0,y),如图,点B(4,3)关于y轴的对称点为B'(-4,3), 方法总结 光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.变式训练一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.解 (方法1)由光的反射原理,知kAP=-kBP, 1.若经过P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率为1,则m等于(　　)A.1 B.4 C.1或3 D.1或4答案 A 解析 由题意知kPQ= =1,解得 m=1. 2.斜率不存在的直线一定是(　　)A.过原点的直线B.垂直于x轴的直线C.垂直于y轴的直线D.垂直于坐标轴的直线答案 B解析 只有直线垂直于x轴时,其倾斜角为90°,斜率不存在.答案 B 4.已知直线l的倾斜角为α,且0°≤α<135°,则直线l的斜率的取值范围是　　　. 答案 (-∞,-1)∪[0,+∞)解析 设直线l的斜率为k,当0°≤α<90°时,k=tan α≥0,当α=90°时无斜率,当90°<α<135°时,k=tan α<-1,故直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪[0,+∞).5.已知直线l上的两个点M(1,2),N(5,4),则直线l的一个方向向量为　　　　. 答案 (4,2)(答案不唯一)解析 ∵直线经过M(1,2),N(5,4), 6.已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求直线的斜率k及a,b的值.所以直线的斜率k=2,a=4,b=-3. 本 课 结 束