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08二次函数与幂函数 高考数学高频考点题型含解析
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这是一份08二次函数与幂函数 高考数学高频考点题型含解析，共30页。试卷主要包含了关键能力，教学建议，自主梳理，真题感悟，高频考点+重点题型，化为二次函数来解决等内容，欢迎下载使用。
专题08二次函数及幂函数
一、关键能力
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
二、教学建议
幂函数的教学中，只要求了解幂函数的概念，并结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3， 的图象，了解它们的单调性和奇偶性。
二次函数的教学中，方程实根分布问题，重点在于培养学生使用图象来解决方程根的问题的思想方法，这里的借助图象来控制根的分布的思想，是相对于初中用判别式和求根公式等代数办法而言，重点在于对借助图象能力的培养，而不在于背诵记忆若干根的分布的几大类型公式等。
三、自主梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[提醒]
二次函数的图像、单调性、最值与以下四点有关
（1）抛物线的开口方向（2）对称轴（3）给定区间的范围有关（4）判别式
四、真题感悟
1.（2021浙江卷） 已知，函数若，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
2.（2021全国甲卷理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．所以．
故选：D．
3.（2021全国甲卷文）设函数，其中.讨论的单调性；
【答案】的减区间为，增区间为；
【详解】函数定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
4.（2021浙江卷） 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
5．（2020江苏7）已知是奇函数，当时，，则的值是 ．
【答案】
【解析】是奇函数，当时，，则．
6．（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．
【解析】当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时，由二次函数的图象可知，只有时，满足，不满条件；
当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时当两根分别为和，
（1）当时，此时，当时，不恒成立，
（2）当时，此时，若满足恒成立，只需满足
当时，此时，满足恒成立，
综上可知满足在恒成立时，只有，故选C ．
五、高频考点+重点题型
考点一、幂函数与二次函数的解析式
例1.（1）已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（ ）
A． B． C．3 D．
（2）已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是
【答案】（1）D （2）f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解析】（1）设，依题意可得，
所以.所以.
故所求实数.
（2）法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
对点训练1.已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.
【解答】由于函数为幂函数，则，解得，则，
由已知条件可得，得，因此，.
故选：A.
对点训练2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)>0的解集是( )
A．(－4,2) B．(－2,4)
C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
【答案】C
【解析】依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x＜－4.
总结：幂函数及二次函数的解析式求解方法：待定系数法
考点二、幂函数的图像与性质
例2（1）幂函数y=f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( )
A.偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数 B.偶函数，且在区间(0，+∞)内是减函数
C.奇函数，且在区间(0，+∞)内是减函数 D.非奇非偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数
（2）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0)，g(x)=logax的图象可能是( )
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1）设幂函数f(x)=xa，则f(3)=3a=3，解得a=12，
则f(x)=x12=x，是非奇非偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数.
（2）由于本题中函数为y=xa(x>0)与y=logax，对于选项A，没有幂函数图象，故错误;
对于选项B，由y=xa(x>0)的图象知a>1，而由y=logax的图象知01，故C错误;
对于选项D，由y=xa(x>0)的图象知0
对点训练1.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．或1
【答案】A
【分析】根据函数是幂函数得，求得或1，再检验是否符合题意即可.
【解答】是幂函数，，解得或1，
当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，符合题意，
当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，不符合题意，
.
故选：A.
对点训练2．(上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
【答案】－1
【解析】因为幂函数y＝xα是奇函数，知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，－∞)上是减函数，
所以α<0，即α＝－1.
对点训练3.函数y=x43 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，该函数的定义域为，所以排除C；
因为函数为偶函数，所以排除D；
又，在第一象限内的图像与的图像类似，排除B.
总结：对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
考点三、幂值的比较大小
例3．（2021·江苏南通）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，故选C.
对点训练1．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由幂函数的定义即可求解析式，进而可知其奇偶性，并结合单调性即可比较，，的大小.
【解答】对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知：
，解得或（舍去），
∴，是偶函数，
∴，，而，即，
故选：A
对点训练2.已知等式，，成立，那么下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中可能成立的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（5） C．（3）（4） D．（4）（5）
【答案】AB
【分析】依题意，可设，，结合指数函数的性质，分，及讨论即可得解．
【解答】设，则，，
当时，，故（1）正确；
当时，，故（2）正确；
当时，，故（5）正确；
故选：AB.
总结：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考点四、二次函数图像与性质
例4.（1）若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2)
（2）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)>f(4)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
（3） 若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，则a的值为________．
【答案】（1）A （2）B （3）
解析（1）选A.二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
（2）选B.若a＝0，f(x)不满足题意，所以a≠0，f(x)为二次函数．
因为f(1)＝f(3)，则x＝2为对称轴，故－＝2，
则4a＋b＝0，
又f(3)>f(4)，在(2，＋∞)上f(x)为减函数，所以开口向下，a<0.
故选B.
（3）【解析】f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a＜0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a的值为.
对点训练1．已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.
【解答】函数对称轴为，
要使在区间[-2，1]上具有单调性，则
或，∴或
综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.
故选：C.
对点训练2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
【答案】D
【解析】由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、C.又f(0)＝c＜0，所以排除B，故选D.
对点训练3.（2020·河北正定中学模拟）函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
【答案】A
【解析】 由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故选A.
总结：研究二次函数的图像与性质的关键是対称轴
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
（3）研究二次函数的最值问题．对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”。
考点五、二次函数与二次不等式、二次方程之间关系
例5．已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，，由根与系数的关系即可求解.
【解答】解：的值域为，
，，，对称轴为，
的解集为，的根为，，
即的根为，，，，
. 故选：D.
对点训练1（1）已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为_______．
（2）若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
【答案】（1）(－∞，1) （2）A
【解析】（1）由题意得x2＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k＜1.故k的取值范围为(－∞，1)．
（2）不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.
对点训练2.已知函数，且，则( )
A．，都有 B．，都有
C．，使得 D．，使得
【答案】B
【解析】由可知，抛物线开口向上．因为，即1是方程的一个根，所以，都有，选B．
考点六、化为二次函数来解决
例6.已知函数,若存在区间,使得函数f(x)在区间 上的值域为则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性可知，，即可得到，即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得．
对点训练1.若函数f(x)=x2-|x|-6，则f(x)的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】当x>0时，x2-x-6=0，解得x=-2或x=3，可知x=3;
当x<0时，x2+x-6=0，解得x=2或x=-3，可知x=-3;
故f(x)的零点个数为2.故选B.
对点训练2.已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】当时，，
∵开口向下，对称轴，在对称轴的左边单调递增，
∴，解得：；
当时，是以2为底的对数函数，是增函数，故；
综上所述，实数的取值范围是：；
对点训练3.已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1.
（1）求、的值及的解析式；
（2）设，若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），，；（2）.
【解析】对称轴方程为,
因为在区间上的最大值为5，,
故时,取得最小值为1,即顶点为，
或，取得最大值5.
,解得,
.
（2）,
,
即在上有解,
令
时，不等式在上有解.
实数的取值范围.
巩固训练
一、单选题
1.（2020·华中师范大学附中期中）若a<0，则0.5a，5a，5-a的大小关系是( )
A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a
【答案】B
【解析】5-a=15a.
因为a<0，所以函数y=xa在区间(0，+∞)内单调递减.
又15<0.5<5，所以5a<0.5a<5-a.
2.（2020·广东深圳中学调研）已知f(x)=x3，若当x∈[1，2]时，f(x2-ax)+f(1-x)≤0，则a的取值范围是( )
A.a≤1 B.a≥1 C.a≥32 D.a≤32
【答案】C
【解析】f(x)在区间(-∞，+∞)内为奇函数且单调递增.
∴由f(x2-ax)+f(1-x)≤0，得f(x2-ax)≤f(x-1)，∴x2-ax≤x-1，即x2-(a+1)x+1≤0.
设g(x)=x2-(a+1)x+1，则有，解得a≥32.，选C.
3．（2019·山西运城一中期末）已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是( )
答案】B
【解析】选项A中，a＝0时，符合题意．当a≠0时，对称轴x＝－≥0且y＝2ax＋b与x轴的交点为应位于x轴非负半轴，B不符合题意．选项C，D符合题意．
4．（2019·河北张家口二中期中）若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________．
【答案】[2，＋∞)
【解析】依题意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，所以4ab＝1，且b>0.
故a＋4b≥2＝2，当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝时等号成立．
所以a＋4b的取值范围是[2，＋∞)．
5．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，则的值为（ ）
A．-1 B．2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据函数是幂函数可得或2，再由题可得函数是增函数，即可得出结果.
【解答】是幂函数，，解得或2，
对任意的且，满足，
在单调递增，，即，.故选：B.
6．（2020·会泽县第一中学校高一月考）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得：，解得：，所以，
因为，，，
又，所以
由在上递增，可得：，
所以.
7（2019·天津高三学业考试）已知函数在上有最小值-1，则的值为（ ）
A．-1或1 B．
C．或1 D．或1或-1
【答案】A
【解析】，对称轴是，
当时，，，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去．
综上，．
8．（2020·北京高三一模）当时,若函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时,又因为为正实数,
函数的图象二次函数,
在区间 为减函数,在区间为增函数;
函数,是斜率为的一次函数.
最小值为,最大值为;
①当时,即时,
函数在区间 为减函数,
在区间 为增函数,
的图象与的图象有且只有一个交点,
则,即
,解得,
所以
②当时,即时,
函数在区间 为减函数,在区间为增函数,
在区间 为增函数,
的图象与的图象有且只有一个交点,
则,即
的图象与的图象有且只有一个交点
,
解得或
综上所述：正实数的取值范围为.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．二次函数没有零点的充要条件是
B．命题“，”的否定是“，使得”
C．若，则
D．三个数，，之间的大小关系是
【答案】BD
【分析】利用二次函数的基本性质可判断A选项的正误；利用全称命题的否定可判断B选项的正误；由指数函数的单调性可判断C选项的正误；利用中间值以及幂函数的单调性可判断D选项的正误.
【解答】对于A选项，若二次函数没有零点，则，A选项正确；
对于B选项，命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，使得”，B选项错误；
对于C选项，，则，，C选项正确；
对于D选项，，，，D选项错误.
故选：BD.
10．下列选项中说法正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．幂函数过点，则
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于B选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 C选项：由复合函数的定义域可判断；对于 D选项：由对数函数的值域可判断.
【解答】对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；
对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；
对于 C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；
对于 D选项：因为函数的值域为，
所以当时，，满足其值域为，
当时，需且，解得，
所以实数的取值范围是，故D正确，
故选：BD.
三、填空题
11．幂函数的图象过点，则______.
【答案】
【分析】设，由已知得出，求出实数的值，进而可求得的值.
【解答】设幂函数（为常数），
幂函数的图象过点，，解得，
，因此，.
故答案为：.
12．已知函数，若对于区间内的任意两个不等实数，，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用已知条件判断函数的对称轴与单调性的关系，列出不等式求解即可.
【解答】函数，
若对于区间内的任意两个不等实数，，
都有，
即，
可得：函数在区间上是增函数，
二次函数的对称轴为：，
可得：，
解得：，
故答案为：.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．
14．已知点在幂函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）若函数，，是否存在实数，使得最小值为5？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）设，将点代入即可求解.
（2）由（1）可得，，讨论二次函数的对称轴，由二次函数的性质即可求解.
【解答】（1）∵是幂函数，∴设，
∵点在幂函数的图像上，∴，
∴.
（2），，
①当即时，.
②当即时，；
③当即时，（舍去）
综上所述，存在.
专题08二次函数及幂函数
一、关键能力
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
二、教学建议
幂函数的教学中，只要求了解幂函数的概念，并结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3， 的图象，了解它们的单调性和奇偶性。
二次函数的教学中，方程实根分布问题，重点在于培养学生使用图象来解决方程根的问题的思想方法，这里的借助图象来控制根的分布的思想，是相对于初中用判别式和求根公式等代数办法而言，重点在于对借助图象能力的培养，而不在于背诵记忆若干根的分布的几大类型公式等。
三、自主梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[提醒]
二次函数的图像、单调性、最值与以下四点有关
（1）抛物线的开口方向（2）对称轴（3）给定区间的范围有关（4）判别式
四、真题感悟
1.（2021浙江卷） 已知，函数若，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
2.（2021全国甲卷理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．所以．
故选：D．
3.（2021全国甲卷文）设函数，其中.讨论的单调性；
【答案】的减区间为，增区间为；
【详解】函数定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
4.（2021浙江卷） 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
5．（2020江苏7）已知是奇函数，当时，，则的值是 ．
【答案】
【解析】是奇函数，当时，，则．
6．（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．
【解析】当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时，由二次函数的图象可知，只有时，满足，不满条件；
当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时当两根分别为和，
（1）当时，此时，当时，不恒成立，
（2）当时，此时，若满足恒成立，只需满足
当时，此时，满足恒成立，
综上可知满足在恒成立时，只有，故选C ．
五、高频考点+重点题型
考点一、幂函数与二次函数的解析式
例1.（1）已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（ ）
A． B． C．3 D．
（2）已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是
【答案】（1）D （2）f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解析】（1）设，依题意可得，
所以.所以.
故所求实数.
（2）法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
对点训练1.已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.
【解答】由于函数为幂函数，则，解得，则，
由已知条件可得，得，因此，.
故选：A.
对点训练2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)>0的解集是( )
A．(－4,2) B．(－2,4)
C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
【答案】C
【解析】依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x＜－4.
总结：幂函数及二次函数的解析式求解方法：待定系数法
考点二、幂函数的图像与性质
例2（1）幂函数y=f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( )
A.偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数 B.偶函数，且在区间(0，+∞)内是减函数
C.奇函数，且在区间(0，+∞)内是减函数 D.非奇非偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数
（2）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0)，g(x)=logax的图象可能是( )
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1）设幂函数f(x)=xa，则f(3)=3a=3，解得a=12，
则f(x)=x12=x，是非奇非偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数.
（2）由于本题中函数为y=xa(x>0)与y=logax，对于选项A，没有幂函数图象，故错误;
对于选项B，由y=xa(x>0)的图象知a>1，而由y=logax的图象知0
对于选项D，由y=xa(x>0)的图象知0
对点训练1.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．或1
【答案】A
【分析】根据函数是幂函数得，求得或1，再检验是否符合题意即可.
【解答】是幂函数，，解得或1，
当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，符合题意，
当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，不符合题意，
.
故选：A.
对点训练2．(上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
【答案】－1
【解析】因为幂函数y＝xα是奇函数，知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，－∞)上是减函数，
所以α<0，即α＝－1.
对点训练3.函数y=x43 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，该函数的定义域为，所以排除C；
因为函数为偶函数，所以排除D；
又，在第一象限内的图像与的图像类似，排除B.
总结：对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
考点三、幂值的比较大小
例3．（2021·江苏南通）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，故选C.
对点训练1．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由幂函数的定义即可求解析式，进而可知其奇偶性，并结合单调性即可比较，，的大小.
【解答】对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知：
，解得或（舍去），
∴，是偶函数，
∴，，而，即，
故选：A
对点训练2.已知等式，，成立，那么下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中可能成立的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（5） C．（3）（4） D．（4）（5）
【答案】AB
【分析】依题意，可设，，结合指数函数的性质，分，及讨论即可得解．
【解答】设，则，，
当时，，故（1）正确；
当时，，故（2）正确；
当时，，故（5）正确；
故选：AB.
总结：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考点四、二次函数图像与性质
例4.（1）若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2)
（2）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)>f(4)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
（3） 若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，则a的值为________．
【答案】（1）A （2）B （3）
解析（1）选A.二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
（2）选B.若a＝0，f(x)不满足题意，所以a≠0，f(x)为二次函数．
因为f(1)＝f(3)，则x＝2为对称轴，故－＝2，
则4a＋b＝0，
又f(3)>f(4)，在(2，＋∞)上f(x)为减函数，所以开口向下，a<0.
故选B.
（3）【解析】f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a＜0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a的值为.
对点训练1．已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.
【解答】函数对称轴为，
要使在区间[-2，1]上具有单调性，则
或，∴或
综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.
故选：C.
对点训练2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
【答案】D
【解析】由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、C.又f(0)＝c＜0，所以排除B，故选D.
对点训练3.（2020·河北正定中学模拟）函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
【答案】A
【解析】 由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故选A.
总结：研究二次函数的图像与性质的关键是対称轴
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
（3）研究二次函数的最值问题．对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”。
考点五、二次函数与二次不等式、二次方程之间关系
例5．已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，，由根与系数的关系即可求解.
【解答】解：的值域为，
，，，对称轴为，
的解集为，的根为，，
即的根为，，，，
. 故选：D.
对点训练1（1）已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为_______．
（2）若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
【答案】（1）(－∞，1) （2）A
【解析】（1）由题意得x2＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k＜1.故k的取值范围为(－∞，1)．
（2）不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.
对点训练2.已知函数，且，则( )
A．，都有 B．，都有
C．，使得 D．，使得
【答案】B
【解析】由可知，抛物线开口向上．因为，即1是方程的一个根，所以，都有，选B．
考点六、化为二次函数来解决
例6.已知函数,若存在区间,使得函数f(x)在区间 上的值域为则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性可知，，即可得到，即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得．
对点训练1.若函数f(x)=x2-|x|-6，则f(x)的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】当x>0时，x2-x-6=0，解得x=-2或x=3，可知x=3;
当x<0时，x2+x-6=0，解得x=2或x=-3，可知x=-3;
故f(x)的零点个数为2.故选B.
对点训练2.已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】当时，，
∵开口向下，对称轴，在对称轴的左边单调递增，
∴，解得：；
当时，是以2为底的对数函数，是增函数，故；
综上所述，实数的取值范围是：；
对点训练3.已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1.
（1）求、的值及的解析式；
（2）设，若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），，；（2）.
【解析】对称轴方程为,
因为在区间上的最大值为5，,
故时,取得最小值为1,即顶点为，
或，取得最大值5.
,解得,
.
（2）,
,
即在上有解,
令
时，不等式在上有解.
实数的取值范围.
巩固训练
一、单选题
1.（2020·华中师范大学附中期中）若a<0，则0.5a，5a，5-a的大小关系是( )
A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a
【答案】B
【解析】5-a=15a.
因为a<0，所以函数y=xa在区间(0，+∞)内单调递减.
又15<0.5<5，所以5a<0.5a<5-a.
2.（2020·广东深圳中学调研）已知f(x)=x3，若当x∈[1，2]时，f(x2-ax)+f(1-x)≤0，则a的取值范围是( )
A.a≤1 B.a≥1 C.a≥32 D.a≤32
【答案】C
【解析】f(x)在区间(-∞，+∞)内为奇函数且单调递增.
∴由f(x2-ax)+f(1-x)≤0，得f(x2-ax)≤f(x-1)，∴x2-ax≤x-1，即x2-(a+1)x+1≤0.
设g(x)=x2-(a+1)x+1，则有，解得a≥32.，选C.
3．（2019·山西运城一中期末）已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是( )
答案】B
【解析】选项A中，a＝0时，符合题意．当a≠0时，对称轴x＝－≥0且y＝2ax＋b与x轴的交点为应位于x轴非负半轴，B不符合题意．选项C，D符合题意．
4．（2019·河北张家口二中期中）若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________．
【答案】[2，＋∞)
【解析】依题意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，所以4ab＝1，且b>0.
故a＋4b≥2＝2，当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝时等号成立．
所以a＋4b的取值范围是[2，＋∞)．
5．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，则的值为（ ）
A．-1 B．2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据函数是幂函数可得或2，再由题可得函数是增函数，即可得出结果.
【解答】是幂函数，，解得或2，
对任意的且，满足，
在单调递增，，即，.故选：B.
6．（2020·会泽县第一中学校高一月考）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得：，解得：，所以，
因为，，，
又，所以
由在上递增，可得：，
所以.
7（2019·天津高三学业考试）已知函数在上有最小值-1，则的值为（ ）
A．-1或1 B．
C．或1 D．或1或-1
【答案】A
【解析】，对称轴是，
当时，，，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去．
综上，．
8．（2020·北京高三一模）当时,若函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时,又因为为正实数,
函数的图象二次函数,
在区间 为减函数,在区间为增函数;
函数,是斜率为的一次函数.
最小值为,最大值为;
①当时,即时,
函数在区间 为减函数,
在区间 为增函数,
的图象与的图象有且只有一个交点,
则,即
,解得,
所以
②当时,即时,
函数在区间 为减函数,在区间为增函数,
在区间 为增函数,
的图象与的图象有且只有一个交点,
则,即
的图象与的图象有且只有一个交点
,
解得或
综上所述：正实数的取值范围为.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．二次函数没有零点的充要条件是
B．命题“，”的否定是“，使得”
C．若，则
D．三个数，，之间的大小关系是
【答案】BD
【分析】利用二次函数的基本性质可判断A选项的正误；利用全称命题的否定可判断B选项的正误；由指数函数的单调性可判断C选项的正误；利用中间值以及幂函数的单调性可判断D选项的正误.
【解答】对于A选项，若二次函数没有零点，则，A选项正确；
对于B选项，命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，使得”，B选项错误；
对于C选项，，则，，C选项正确；
对于D选项，，，，D选项错误.
故选：BD.
10．下列选项中说法正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．幂函数过点，则
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于B选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 C选项：由复合函数的定义域可判断；对于 D选项：由对数函数的值域可判断.
【解答】对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；
对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；
对于 C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；
对于 D选项：因为函数的值域为，
所以当时，，满足其值域为，
当时，需且，解得，
所以实数的取值范围是，故D正确，
故选：BD.
三、填空题
11．幂函数的图象过点，则______.
【答案】
【分析】设，由已知得出，求出实数的值，进而可求得的值.
【解答】设幂函数（为常数），
幂函数的图象过点，，解得，
，因此，.
故答案为：.
12．已知函数，若对于区间内的任意两个不等实数，，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用已知条件判断函数的对称轴与单调性的关系，列出不等式求解即可.
【解答】函数，
若对于区间内的任意两个不等实数，，
都有，
即，
可得：函数在区间上是增函数，
二次函数的对称轴为：，
可得：，
解得：，
故答案为：.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．
14．已知点在幂函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）若函数，，是否存在实数，使得最小值为5？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）设，将点代入即可求解.
（2）由（1）可得，，讨论二次函数的对称轴，由二次函数的性质即可求解.
【解答】（1）∵是幂函数，∴设，
∵点在幂函数的图像上，∴，
∴.
（2），，
①当即时，.
②当即时，；
③当即时，（舍去）
综上所述，存在.
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