北师大版七年级下册第四章 三角形5 利用三角形全等测距离综合训练题

学霸夯基——北师大版七年级下册

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一、单选题

1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连结PC，若△ABC的面积为，则△BPC的面积为（　　）．
 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由AB=AD，∠ABP=∠DBP，又有公共边BP，所以△ABP≌△DBP，所以AP=DP，即P为AD中点，所以△ABC和△BPC的高的比为2:1，又因为两个三角形有共同底边BC，△ABC的面积为，所以△BPC的面积为.

2．小明不慎将一个三角形玻璃摔碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是（　　）

​

A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块

【答案】B

【解析】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明∠D′O′C′=∠DOC的依据是（　　） 

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【答案】A

【解析】解：如图，在△D′O′C′与△DOC中，

∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），

∴∠D′O′C′=∠DOC。

4．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（　　） 

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【答案】C

【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 

5．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（　　）

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角

【答案】B

【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD

∴∠ABC=∠BDE

又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE

∴△EDC≌△ABC（ASA）

6．根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（　　） 

A．AB＝3，BC＝4，CA＝8

B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°

C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4

D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°

【答案】C

【解析】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；

B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；

C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；

D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意．

二、填空题

7．如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于M，N两点，以OM为边在x轴下方作等边三角形OMP，现将△OMP沿y轴向上平移，当点P恰好落在直线MN上时，点P运动的路程为　             　 ．

【答案】　+3　

【解析】解：如图，∵直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于M，N两点，

∴M（﹣3，0），N（0，6），

∴OM=3，ON=6．

又∵△OMP是等边三角形，

∴OC=，CP=．

把x=﹣代入y=2x+6，得

y=2×（﹣）+6=3，即CP′=3，

故点P运动的路程为：CP′+CP=+3．

8．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是　     　．

【答案】90cm

【解析】∵O是CD和FG的中点，

∴FO=OG，CO=DO，

又∠FOC=∠GOD，

∴ΔFOC≌ΔGOD，

∴FC=GD=40cm，

∴小明离地面的高度是:50+40=90cm.

9．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是　     　 ，理由是　     　

【答案】带③去；ASA

【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．

最省事的方法是应带③去，理由是：ASA．

10．如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理　     　

【答案】SAS

【解析】解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：

∵O是AA′，BB′的中点，

∴AO=A′O，BO=B′O，

又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，

∴∠AOB=∠A′OB′，

在△AOB和△A′OB′中，

，

∴△AOB≌△A′OB′（SAS），

∴A′B′=AB，

∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准．

三、解答题

11．如图，有两个长度相等（BC=EF）的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，求证：∠ABC+∠DFE=90°． 

【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中， 

∵ ，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），

∴∠ABC=∠DEF，

∵∠DEF+∠DFE=90°，

∴∠ABC+∠DFE=90°

【解析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠ABC=∠DEF，再由直角三角形的两锐角互余即可解答． 

12．如图所示，两根旗杆间相距12m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间？ 

【答案】解：∵∠CMD=90°， 

∴∠CMA+∠DMB=90度，

又∵∠CAM=90°

∴∠CMA+∠ACM=90°，

∴∠ACM=∠DMB，

又∵CM=MD，

∴Rt△ACM≌Rt△BMD，

∴AC=BM=3，

∴他到达点M时，运动时间为3÷1=3（s）．

答：这人运动了3s

【解析】本题的基础仍然是证明两个三角形全等，根据∠CMD=90°，利用互余关系可以得出：∠AMC=∠DMB，证明三角形全等的另外两个条件容易看出．利用全等的性质可求得AC=BM=3，从而求得运动时间． 

13．如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处挂两根彩线EC、FC．求证：EC=FC．

【答案】证明：如图，连结AC．

在△ABC与△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠EAC=∠FAC．

∵E、F分别是AB、AD的中点，

∴AE=AB，AF=AD，

∵AB=AD，

∴AE=AF．

在△AEC与△AFC中，

，

∴△AEC≌△AFC（SAS），

∴EC=FC．

【解析】连接AC，先利用SSS证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的对应角相等得出∠1=∠2，再利用SAS证明△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC．

14．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，你能说说其中的道理吗？ 

【答案】解：在△ABC和△CED中， 

AC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角），EC=BC，

∴△ABC≌△DEC，

∴AB=ED，

即量出DE的长，就是A、B的距离

【解析】仔细读题，认真理解题意，通过三角形全等求得AB间距离与DE的长时相同的．