七年级下册2 探索轴对称的性质随堂练习题

学霸夯基——北师大版七年级下册

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一、单选题

1．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（　　） 

A．150° B．300° C．210° D．330°

【答案】B

【解析】由轴对称可知∠AFC＝∠EFC，∠BCF＝∠DCF，∴∠AFE＝2∠AFC，∠BCD＝2∠BCF又∵∠AFC＋∠BCF＝150°，∴∠AFE＋∠BCD＝2∠AFC＋2∠BCF＝300°．

2．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点E，BE与AD交于点F，若∠CBD＝33°，则∠AFB的度数为（　　） 

A．27° B．33° C．54° D．66°

【答案】D

【解析】解：由折叠的性质得到，

∠EBD＝∠CBD，

∵∠CBD＝33°，

∴∠EBC＝2∠CBD＝66°，

∵AD∥BC，

∴∠AFB＝∠EBC＝66°，

3．下列图形中对称轴最多的是（　　）

A．圆 B．正方形 C．角 D．线段

【答案】A

【解析】解：A、圆的对称轴有无数条，它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴；

B、正方形的对称轴有4条；

C、角的对称轴有1条；

D、线段的对称轴有2条．

故图形中对称轴最多的是圆．

4．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；③BD=BF；④S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（　　）
 

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知）
∵OB⊥AC，
∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
∵ AB＝BC BO＝BO  ，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，
∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为三角形ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，故④正确；
⑤连接CF，
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF∥CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，
故⑤正确。
5．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到 的位置，若 ， 的度数为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：由翻折知∠EFC=∠EFC'=105°，

∴∠EFC+∠EFC'=210°，

∴∠DFC'=∠EFC+∠EFC'-180°=210°-180°=30°.

6．如图，把△ABC沿AD对折后完全重合，则图中全等三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】C

【解析】证明：∵把△ABC沿AD对折后完全重合
∴△ABD≌△ACD
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD
在△ABE和△ACE中

∴△ABE≌△ACE
∴BE=CE
在△EBD和△ECD中

∴△EBD≌△ECD
∴图中全等三角形有△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，共3对，

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AB的中点为D.以C为原点，射线CB为x轴的正方向，射线CA为y轴的正方向建立平面直角坐标系.P是BC上的一个动点，连接AP、DP，则AP+DP最小时，点P的坐标为（　　） 

A．（ ，0） B．（ ，0）

C．（ ，0） D．（ ，0）

【答案】A

【解析】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'P，

则AP＝A'P，

∴AP+DP＝A'P+DP，

当A'，P，D在同一直线上时，AP+DP的最小值等于A'D的长，

∵AC＝BC＝2，AB的中点为D，

∴A（0，2），B（2，0），D（1，1），A'（0，﹣2），

设直线A'D的解析式为y＝kx+b（k≠0），则

，

解得 ，

∴y＝3x﹣2，

当y＝0时，x＝ ，

∴点P的坐标为（ ，0），

8．如题图，△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称，∠BCA=35°，∠B=80°，则∠DAC的度数为（　　） 

A．55° B．65° C．75° D．85°

【答案】B

【解析】根据题意 ∠DAC=∠BAC=180°-∠BCA-∠B=65°。

二、填空题

9．如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为　     　．

【答案】

【解析】解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，

连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN．∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°．∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD= AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN•cos∠N=2× = ．

10．如图，题型ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AD=2，∠B=60°，AH⊥BC于点H，且AH=  ，直线MN是梯形的对称轴，P为直线MN上的一动点，则PC＋PD的最小值为　     　. 

【答案】

【解析】连接AC交直线MN于P点，P点即为所求．

∵直线MN为梯形ABCD的对称轴，

∴AP=DP，

∴当A、P、C三点位于一条直线时，PC+PD=AC，为最小值，

∵AD=DC=AB，AD∥BC，

∴∠DCB=∠B=60°，

∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

∴∠DAC=∠DCA=∠ACB

∵∠ACB+∠DCA=60°，

∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=30°，

∴∠BAC=90°，

∵AB=2，∠B=60°

∴AC=tan60°×AB=   ×2=2   ．

∴PC+PD的最小值为2   ．

11．将一张宽为6cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是　     　 cm2． 

【答案】18

【解析】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小， 

∵∠BAC=90°∠ACB=45°

∴AB=AC=4cm，

∴S△ABC= ×6×6=18cm2．

12．如图，线段AB与线段CD关于直线L对称，点P是直线L上一动点，测得：点D与点A之间的距离为8cm，点B与点D之间的距离为5cm，那么PA+PB的最小值是　     　．

【答案】8cm

【解析】解：∵线段AB与线段CD关于直线L对称，

∴点B与点D关于直线L对称，

连接AD，交于直线L于点P，则此时PA+PB最小，且PB=PD，

∴PA+PB=PA+PD=AD=8cm．

三、解答题

13．观察图①~④中的左右两个图形,它们是否成轴对称?如果是,请画出其对称轴.

【答案】解：图①②③中的左右两个图形成轴对称,题图④中的左右两个图形不成轴对称.

图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示.

【解析】把一个图形沿着某条直线折叠，若能与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就叫它们的对称轴；根据定义即可判断出图①②③中的左右两个图形成轴对称，在成轴对称的两个图形上找出一对对称点，做出以这对对称点为端点的线段的垂直平分线就是它们的对称轴。

14．如图，四边形ABCD中，∠BAD=100°，∠BCD=70°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，求∠B的度数．

【答案】解：∵MF∥AD，FN∥DC， 

∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，

∵△BMN沿MN翻折得△FMN，

∴∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°，

∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°，

在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．

【解析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

15．如图，D为AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．
求证：EF=EC．
 

【答案】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，
∴DA=DF，AE=FE，∠ADE=∠FDE，
∴∠B=∠DFB，
∵∠ADF=∠B+∠DFB，即∠ADE+∠FDE=∠B+∠DFB，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
而D为AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AE=EC，
∴EF=EC．

【解析】根据折叠的性质得到DA=DF，AE=FE，∠ADE=∠FDE，根据等腰三角形性质得∠B=∠DFB，再根据三角形外角性质得到∠ADE+∠FDE=∠B+∠DFB，则∠ADE=∠B，所以DE∥BC，易得DE为△ABC的中位线，得到AE=EC，于是EF=EC．

16．如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形，再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样的两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：

（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形” 为正方形，那么它必须满足的条件是       ．

【答案】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）由（2）可得，若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么三角形的一边长与该边上的高相等的直角三角形或锐角三角形．

【解析】（1）应先在三角形的格点中找一个矩形，折叠即可；
（2）根据正方形的边长应等于底边及底边上高的一半可得所求三角形的底边与高相等；
（3）由（2）可得相应结论。