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人教版新高考数学二轮复习课件--三角恒等变换与解三角形
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专题二2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI内容索引必备知识•精要梳理 关键能力•学案突破 必备知识•精要梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;温馨提示注意公式的逆用与变形用,例如:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, 3.辅助角公式 4.正弦定理 余弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccos A;5.三角形中的射影定理bcos C+ccos B=a,acos C+ccos A=b,acos B+bcos A=c.6.三角形面积公式关键能力•学案突破 答案 C 答案 D A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 A 名师点析利用三角恒等变换解决求值问题的关键(1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数给值求角的问题时,要根据已知条件求出这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.对点练1(1)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=( ) 答案(1)A (2)A (3) D 答案 AD [例2-2](2021·全国Ⅰ,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .规律总结三角形中边角互化的基本原则(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解.(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.对点练2答案 (1)A (2)1 (2)因为△ADC与△BDC的面积之比为3∶1,所以AD∶BD=3∶1,故BD=1. [例3-1](2021·全国Ⅱ,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )A.346 B.373 C.446 D.473答案 B 答案 D 规律总结解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中有关单位的问题、近似计算的要求等.对点练3(2021·浙江余姚月考)仰望星空,时有流星划过天际,如图,有两个观察者在地球上A,B两地同时看到S处有一颗流星,仰角分别是α和β(MA,MB表示当地的地平线),假设O为地球中心,且点S,A,B,O共面,劣弧AB所对的圆心角为2θ.若测算到α=23.2°,β=44.3°,θ=2.25°,AB≈500 km,则AS≈ km(精确到1 km).参考数据:sin 23.2°≈0.394,sin 46.55°≈0.726,sin 72°≈0.951. 答案 382 解析 在△SAB中,易知∠SAB=α+θ=25.45°,∠SBA=β+θ=46.55°,所以∠ASB=180°-25.45°-46.55°=108°.答案 B 答案 C 对点练4(1)(2021·重庆八中月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3bcos C=3a-c,且A=C,则sin A= . (2)(2021·黑龙江哈尔滨一模)在△ABC中,记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S,则 的最大值为 . 解析 (1)因为3bcos C=3a-c,由正弦定理可得3sin Bcos C=3sin A-sin C,又A+B+C=π,所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以3sin Bcos C=3(sin Bcos C+cos Bsin C)-sin C,则3cos Bsin C=sin C.
专题二2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI内容索引必备知识•精要梳理 关键能力•学案突破 必备知识•精要梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;温馨提示注意公式的逆用与变形用,例如:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, 3.辅助角公式 4.正弦定理 余弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccos A;5.三角形中的射影定理bcos C+ccos B=a,acos C+ccos A=b,acos B+bcos A=c.6.三角形面积公式关键能力•学案突破 答案 C 答案 D A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 A 名师点析利用三角恒等变换解决求值问题的关键(1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数给值求角的问题时,要根据已知条件求出这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.对点练1(1)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=( ) 答案(1)A (2)A (3) D 答案 AD [例2-2](2021·全国Ⅰ,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .规律总结三角形中边角互化的基本原则(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解.(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.对点练2答案 (1)A (2)1 (2)因为△ADC与△BDC的面积之比为3∶1,所以AD∶BD=3∶1,故BD=1. [例3-1](2021·全国Ⅱ,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )A.346 B.373 C.446 D.473答案 B 答案 D 规律总结解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中有关单位的问题、近似计算的要求等.对点练3(2021·浙江余姚月考)仰望星空,时有流星划过天际,如图,有两个观察者在地球上A,B两地同时看到S处有一颗流星,仰角分别是α和β(MA,MB表示当地的地平线),假设O为地球中心,且点S,A,B,O共面,劣弧AB所对的圆心角为2θ.若测算到α=23.2°,β=44.3°,θ=2.25°,AB≈500 km,则AS≈ km(精确到1 km).参考数据:sin 23.2°≈0.394,sin 46.55°≈0.726,sin 72°≈0.951. 答案 382 解析 在△SAB中,易知∠SAB=α+θ=25.45°,∠SBA=β+θ=46.55°,所以∠ASB=180°-25.45°-46.55°=108°.答案 B 答案 C 对点练4(1)(2021·重庆八中月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3bcos C=3a-c,且A=C,则sin A= . (2)(2021·黑龙江哈尔滨一模)在△ABC中,记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S,则 的最大值为 . 解析 (1)因为3bcos C=3a-c,由正弦定理可得3sin Bcos C=3sin A-sin C,又A+B+C=π,所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以3sin Bcos C=3(sin Bcos C+cos Bsin C)-sin C,则3cos Bsin C=sin C.
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