高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.3《直线与圆、圆与圆的位置关系》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.3《直线与圆、圆与圆的位置关系》 (教师版)
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(　　)A．[－eq \r(2)，eq \r(2)]　　　　　　　 B．[－2eq \r(2)，2eq \r(2)]C．[－eq \r(2)－1，eq \r(2)－1] D．[－2eq \r(2)－1，2eq \r(2)－1]解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝eq \f(|2－1＋m|,\r(2))＝eq \f(|m＋1|,\r(2))，若直线l与圆C恒有公共点，则eq \f(|m＋1|,\r(2))≤2，解得－2eq \r(2)－1≤m≤2eq \r(2)－1，故选D.2．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)A．相交 B．相切C．相离 D．不确定解析：选A.因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为eq \r(2)，因为直线l与圆C相切．所以eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝±1，因为k＜0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝eq \f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)＜eq \r(3)，所以直线l与圆D相交．3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有(　　)A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选D.圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，所以圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C2(2，1)，半径长r2＝1.所以d＝eq \r(（－1－2）2＋（－1－1）2)＝eq \r(13)，r1＋r2＝3，所以d＞r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．5．已知圆C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(2),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(3,2)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))解析：选D.设P(a，b)为圆上一点，由题意知，eq \o(AP,\s\up10(→))·eq \o(BP,\s\up10(→))＝0，即(a＋t)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，所以t2＝a2＋b2＝|OP|2，|OP|max＝2＋1＝3，即t的最大值为3，此时kOP＝eq \f(\r(3),3)，OP所在直线的倾斜角为30°，所以点P的纵坐标为eq \f(3,2)，横坐标为3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2))).6．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　　)A.eq \r(2) B．2C.eq \f(\r(2),2)＋1 D．eq \r(2)－1解析：选C.因为圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)＞1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)到直线x－y－1＝0的距离的最大值为eq \r(2)＋1，最小值为点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离为eq \f(1,\r(2))，所以a－b＝eq \r(2)＋1－eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)＋1，故选C.7．已知直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，则m＝________．解析：因为圆C：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，所以2＝eq \f(3,\r(1＋m2))，解得m＝±eq \f(\r(5),2).答案：±eq \f(\r(5),2)8．已知A是射线x＋y＝0(x≤0)上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2＋y2＝1相切，则|AB|的最小值是________．解析：设A(－a，a)，B(b，0)(a，b＞0)，则直线AB的方程是ax＋(a＋b)y－ab＝0.因为直线AB与圆x2＋y2＝1相切，所以d＝eq \f(ab,\r(a2＋（a＋b）2))＝1，化简得2a2＋b2＋2ab＝a2b2，利用基本不等式得a2b2＝2a2＋b2＋2ab≥2eq \r(2)ab＋2ab，即ab≥2＋2eq \r(2)，从而得|AB|＝eq \r(（a＋b）2＋a2)＝ab≥2＋2eq \r(2)，当b＝eq \r(2)a，即a＝eq \r(2＋\r(2))，b＝eq \r(4＋2\r(2))时，|AB|的最小值是2＋2eq \r(2).答案：2＋2eq \r(2)9．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，求圆O2的方程．解：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.又|O1O2|＝eq \r(（2－0）2＋（1＋1）2)＝2eq \r(2)，所以r2＝|O1O2|－r1＝2eq \r(2)－2.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq \r(2).(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝req \o\al(2,2)，①又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，②①－②得AB所在的直线方程为4x＋4y＋req \o\al(2,2)－8＝0.设线段AB的中点为H，因为r1＝2，所以|O1H|＝eq \r(req \o\al(2,1)－|AH|2)＝eq \r(2).又|O1H|＝eq \f(|4×0＋4×（－1）＋req \o\al(2,2)－8|,\r(42＋42))＝eq \f(|req \o\al(2,2)－12|,4\r(2))，所以eq \f(|req \o\al(2,2)－12|,4\r(2))＝eq \r(2)，解得req \o\al(2,2)＝4或req \o\al(2,2)＝20.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.10．已知圆C经过点(2，4)，(1，3)，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．(1)求圆C的方程；(2)(ⅰ)请问eq \o(AM,\s\up10(→))·eq \o(AN,\s\up10(→))是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；(ⅱ)若eq \o(OM,\s\up10(→))·eq \o(ON,\s\up10(→))＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（4－b）2＝r2，,（1－a）2＋（3－b）2＝r2，,a－b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，,r＝1，))∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)(ⅰ)eq \o(AM,\s\up10(→))·eq \o(AN,\s\up10(→))为定值．过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2＝7，∴eq \o(AM,\s\up10(→))·eq \o(AN,\s\up10(→))＝|eq \o(AM,\s\up10(→))|·|eq \o(AN,\s\up10(→))|cos 0°＝|AT|2＝7，∴eq \o(AM,\s\up10(→))·eq \o(AN,\s\up10(→))为定值，且定值为7.(ⅱ)依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝eq \f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2)，∴eq \o(OM,\s\up10(→))·eq \o(ON,\s\up10(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12 ，即eq \f(4k（1＋k）,1＋k2)＝4，解得k＝1，又当k＝1时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝x＋1.B级　能力提升练11．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－2)2＋y2＝5上的任意一点，点Q(2a，a＋2)，其中a∈R，则线段PQ长度的最小值为(　　)A.eq \f(\r(5),5) B．eq \r(5)C.eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(6\r(5),5)解析：选A.显然点Q(2a，a＋2)是直线x－2y＋4＝0上的点，圆心C(2，0)，半径为eq \r(5)，圆心C到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋4|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(6\r(5),5)，所以PQ长度的最小值为eq \f(6\r(5),5)－eq \r(5)＝eq \f(\r(5),5).12．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析：选B.圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y－a)2＝a2，由题意，d＝eq \f(a,\r(2))，所以有，a2＝eq \f(a2,2)＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为eq \r(2)，半径和为3，半径差为1，所以二者相交．13．已知直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b＋ab的最大值为(　　)A．1 B．－1C.eq \r(2)＋eq \f(1,2) D．1＋eq \r(2)解析：选C.因为直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，所以eq \f(1,\r(a2＋b2))＝1，即a2＋b2＝1，令a＝cos θ，b＝sin θ(θ是参数)，即a＋b＋ab＝cos θ＋sin θ＋cos θsin θ，令cos θ＋sin θ＝t(－eq \r(2)≤t≤eq \r(2))，则cos θsin θ＝eq \f(t2－1,2)，即a＋b＋ab＝eq \f(t2＋2t－1,2)，由二次函数的性质可知，当t＝eq \r(2)时，a＋b＋ab的最大值为eq \r(2)＋eq \f(1,2).14．过点C(3，4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为________．解析：以OC为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq \s\up12(2)，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))\s\up12(2)＋（y－2）2))＝5－eq \f(25,4)，化为3x＋4y－5＝0，C到AB的距离为d＝eq \f(|3×3＋4×4－5|,\r(32＋42))＝4.答案：415．过点P(－1，1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则eq \o(PA,\s\up10(→))·eq \o(PB,\s\up10(→))的最小值为________．解析：圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1，所以PC＝eq \r(（t＋1）2＋（t－3）2)＝eq \r(2（t－1）2＋8)≥eq \r(8)，PA＝PB＝eq \r(PC2－1)，cos∠APC＝eq \f(AP,PC)，所以cos∠APB＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AP,PC)))eq \s\up12(2)－1＝1－eq \f(2,PC2)，所以eq \o(PA,\s\up10(→))·eq \o(PB,\s\up10(→))＝(PC2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,PC2)))＝－3＋PC2＋eq \f(2,PC2)≥－3＋8＋eq \f(1,4)＝eq \f(21,4)，所以eq \o(PA,\s\up10(→))·eq \o(PB,\s\up10(→))的最小值为eq \f(21,4).答案：eq \f(21,4)C级　素养加强练16．已知△ABC的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为⊙H.(1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程．(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心为H(0，3)，半径为eq \r(（－1）2＋32)＝eq \r(10)，⊙H的方程为x2＋(y－3)2＝10.设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被⊙H截得的弦长为2，所以d＝eq \r(10－1)＝3.当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x＝3为所求；当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y－2＝k(x－3)，则eq \f(|3k＋1|,\r(1＋k2))＝3，解得k＝eq \f(4,3)，直线l的方程为4x－3y－6＝0.综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，因为点M是线段PN的中点，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋x,2)，\f(n＋y,2)))，又M，N都在半径为r的⊙C上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－3）2＋（y－2）2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋x,2)－3))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋y,2)－2))\s\up12(2)＝r2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－3）2＋（y－2）2＝r2，,（x＋m－6）2＋（y＋n－4）2＝4r2))因为此方程组有解，即以(3，2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m，4－n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2，又3m＋n－3＝0，所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对∀m∈[0，1]成立．而f(m)＝10m2－12m＋10在[0，1]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(32,5)，10))，故r2≤eq \f(32,5)且10≤9r2.又线段BH与圆C无公共点，所以(m－3)2＋(3－3m－2)2＞r2，对∀m∈[0，1]成立，即r2＜eq \f(32,5).故⊙C的半径r的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),3)，\f(4\r(10),5))).