高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.6《抛物线》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.6《抛物线》 (教师版)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－eq \f(4,3)　　　　　　　　　 B．－1C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)解析：选C.由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝eq \f(3－0,－2－2)＝－eq \f(3,4).2．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4eq \r(3)，则该抛物线方程是(　　)A．y2＝eq \f(2\r(3),3)x B．y2＝eq \r(3)xC．y2＝2eq \r(3)x D．y2＝eq \f(\r(3),3)x解析：选A.根据抛物线的对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4eq \r(3)，故eq \f(\r(3),4)AB2＝4eq \r(3)，故AB＝4，正三角形的高为2eq \r(3)，故可以设点A的坐标为(2eq \r(3)，2)代入抛物线方程得4＝4eq \r(3)p，解得p＝eq \f(\r(3),3)，故所求的抛物线方程为y2＝eq \f(2\r(3),3)x.故选A.3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4eq \r(5)，则抛物线C的方程为(　　)A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y解析：选C.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝2x))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4p，,y＝8p，))即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则eq \r(（4p）2＋（8p）2)＝4eq \r(5)，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.4．已知抛物线y2＝2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|＞2，则点A到原点的距离为(　　)A.eq \r(41) B．2eq \r(2)C．4 D．8解析：选B.令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5a－\f(1,2)，4a))，代入y2＝2x中，解得a＝eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,8)(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2eq \r(2).5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若eq \o(FP,\s\up10(→))＝4eq \o(FQ,\s\up10(→))，则|QF|等于(　　)A.eq \f(7,2) B．eq \f(5,2)C．3 D．2解析：选C.因为eq \o(FP,\s\up10(→))＝4eq \o(FQ,\s\up10(→))，所以|eq \o(FP,\s\up10(→))|＝4|eq \o(FQ,\s\up10(→))|，所以eq \f(|PQ|,|PF|)＝eq \f(3,4).如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以eq \f(|PQ|,|PF|)＝eq \f(|QQ′|,|AF|)＝eq \f(3,4)，所以|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3.6．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x解析：选C.由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则eq \o(AF,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq \o(AM,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq \o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，eq \o(AF,\s\up10(→))·eq \o(AM,\s\up10(→))＝0，即yeq \o\al(2,0)－8y0＋16＝0，因而y0＝4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得，eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))\s\up12(2)＋16)＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，即抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.7．在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，把焦点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))代入可求得p＝eq \f(5,2)，所以准线方程为y＝－eq \f(5,4).答案：y＝－eq \f(5,4)8．物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋eq \f(p,2)＝6，即xM＝6－eq \f(p,2)，又由题意可知xM＝eq \f(p,4)，所以eq \f(p,4)＝6－eq \f(p,2)，解得p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.答案：y2＝16x9．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝eq \r([1－（－1）]2＋（0－1）2)＝eq \r(5).答案：eq \r(5)10．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝eq \f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq \f(x1x2,p2)＝－eq \f(2,p)，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－eq \f(2,p)＝－1，∴p＝2.(2)易得直线AN：y－y1＝eq \f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2＝eq \f(x2,p)(x－x2)，联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－y1＝\f(x1,p)（x－x1），,y－y2＝\f(x2,p)（x－x2），))结合①式，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)eq \r(4p2k2＋8p)，点N到直线AB的距离d＝eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，则S△ABN＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \r(p（pk2＋2）3)≥2eq \r(2p)，当k＝0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2eq \r(2p)＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.B级　能力提升练11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若eq \o(MB,\s\up10(→))＝λeq \o(AB,\s\up10(→))，则实数λ为(　　)A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)C．2 D．3解析：选C.把点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))代入抛物线的方程得2＝2p×eq \f(1,2)，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1，0)，设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq \o\al(2,M),4)，yM))，则eq \o(AB,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\r(2)))，eq \o(MB,\s\up10(→))＝(－1－eq \f(yeq \o\al(2,M),4)，－yM)，由eq \o(MB,\s\up10(→))＝λeq \o(AB,\s\up10(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－\f(yeq \o\al(2,M),4)＝－\f(3,2)λ，,－yM＝－\r(2)λ，))解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.12．已知抛物线y2＝8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x＝－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为(　　)A．5 B．4C．3 D．2解析：选C.如图，由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，连接PF，FQ，则d＝|PF|，将圆C的方程化为(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1，4)，半径为2，则|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号)．所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，且为|CF|－|CQ|＝eq \r(（－1－2）2＋（4－0）2)－2＝3，故选C.13．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则eq \f(|OS|,|OR|)的取值范围是(　　)A．(0，2) B．[2，＋∞)C．(0，2] D．(2，＋∞)解析：选D.由题意知，抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x－2)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,y2＝8x))消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2＝eq \f(4（k2＋2）,k2)，故x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2（k2＋2）,k2)，y0＝k(x0－2)＝eq \f(4,k)，所以kOS＝eq \f(y0,x0)＝eq \f(2k,k2＋2)，直线OS的方程为y＝eq \f(2k,k2＋2)x，代入抛物线方程，解得x3＝eq \f(2（k2＋2）2,k2)，由条件知k2＞0.所以eq \f(|OS|,|OR|)＝eq \f(x3,x0)＝k2＋2＞2.选D.14．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2eq \o(OA,\s\up10(→))＋eq \o(OB,\s\up10(→))－3eq \o(OF,\s\up10(→))＝0，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程是y＝－1，因为2(eq \o(OA,\s\up10(→))－eq \o(OF,\s\up10(→)))＋(eq \o(OB,\s\up10(→))－eq \o(OF,\s\up10(→)))＝0，即2eq \o(FA,\s\up10(→))＋eq \o(FB,\s\up10(→))＝0，所以F，A，B三点共线．设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y))得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4　①；又2eq \o(FA,\s\up10(→))＋eq \o(FB,\s\up10(→))＝0，因此2x1＋x2＝0　②.由①②解得xeq \o\al(2,1)＝2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为eq \f(1,2)[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＋1＝eq \f(1,8)(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2))＋1＝eq \f(5xeq \o\al(2,1),8)＋1＝eq \f(9,4).答案：eq \f(9,4)15．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq \o(OA,\s\up10(→))·eq \o(OB,\s\up10(→))＝－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________．解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由eq \o(OA,\s\up10(→))·eq \o(OB,\s\up10(→))＝－4，即x1x2＋y1y2＝－4得eq \f(1,16)yeq \o\al(2,1)yeq \o\al(2,2)＋y1y2＝－4，得y1y2＝－8.所以S△ABO＝eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|＝|y1－y2|≥4eq \r(2)，当y1＝2eq \r(2)，y2＝－2eq \r(2)时取等号，故△ABO面积的最小值为4eq \r(2).答案：4eq \r(2)C级　素养加强练16．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．解：(1)把P(1，1)代入y2＝2px得p＝eq \f(1,2)，所以抛物线C：y2＝x，所以焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，准线：x＝－eq \f(1,4).(2)证明：设l：y＝kx＋eq \f(1,2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，OP：y＝x，ON：y＝eq \f(y2,x2)x，由题知A(x1，x1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x1y2,x2)))，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x，))消去y得k2x2＋(k－1)x＋eq \f(1,4)＝0，所以x1＋x2＝eq \f(1－k,k2)，x1·x2＝eq \f(1,4k2).所以y1＋eq \f(x1y2,x2)＝kx1＋eq \f(1,2)＋eq \f(x1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(1,2))),x2)＝2kx1＋eq \f(x1＋x2,2x2)，由x1＋x2＝eq \f(1－k,k2)，x1x2＝eq \f(1,4k2)，上式＝2kx1＋eq \f(\f(1－k,k2),2×\f(1,4k2x1))＝2kx1＋(1－k)·2x1＝2x1，所以A为线段BM的中点．