高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.8《曲线与方程》 (教师版)

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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)A．x2＋y2＝2　　　　　　 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±eq \r(2)) D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：选D.MN的中点为原点O，易知|OP|＝eq \f(1,2)|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.2．已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cos θ＝eq \f(3,4)，则方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示(　　)A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆解析：选D.因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝eq \f(9,16)，所以sin θcos θ＝－eq \f(7,32)＜0，又sin θ＋cos θ＝eq \f(3,4)＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故eq \f(1,－cos θ)＞eq \f(1,sin θ)＞0，而x2sin θ－y2cos θ＝1可化为eq \f(y2,－\f(1,cos θ))＋eq \f(x2,\f(1,sin θ))＝1，故方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．3．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为(　　)A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线解析：选B.不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|＝eq \f(1,2)|F2S|＝eq \f(1,2)(|QS|－|QF2|)＝eq \f(1,2)(|QF1|－|QF2|)＝a，∴点P的轨迹为圆．4．已知不等式3x2－y2＞0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y＝eq \r(3)x和直线y＝－eq \r(3)x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为eq \f(3\r(3),16)，则点P的轨迹的一个焦点坐标可以是(　　)A．(2，0) B．(3，0)C．(0，2) D．(0，3)解析：选A.不等式3x2－y2＞0⇒(eq \r(3)x－y)(eq \r(3)x＋y)＞0⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＞0，,\r(3)x＋y＞0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＜0，,\r(3)x＋y＜0，))其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P(x，y)到直线y＝eq \r(3)x和直线y＝－eq \r(3)x的距离分别为|PA|＝eq \f(|\r(3)x－y|,\r(3＋1))＝eq \f(|\r(3)x－y|,2)，|PB|＝eq \f(|\r(3)x＋y|,\r(3＋1))＝eq \f(|\r(3)x＋y|,2)，∵∠AOB＝120°，∴∠APB＝60°，∴S△PAB＝eq \f(1,2)×|PA|×|PB|sin 60°＝eq \f(\r(3),4)×eq \f(3x2－y2,4)，又S△PAB＝eq \f(3\r(3),16)，∴eq \f(\r(3),4)×eq \f(3x2－y2,4)＝eq \f(3\r(3),16)，∴3x2－y2＝3，即x2－eq \f(y2,3)＝1，∴P点的轨迹是双曲线，其焦点为(±2，0)，故选A.5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若eq \o(MN2,\s\up10(→))＝λeq \o(AN,\s\up10(→))·eq \o(NB,\s\up10(→))，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．双曲线解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．因为eq \o(MN2,\s\up10(→))＝λeq \o(AN,\s\up10(→))·eq \o(NB,\s\up10(→))，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ＜0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．6．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，eq \o(OM,\s\up10(→))＝eq \f(3,5)eq \o(OA,\s\up10(→))＋eq \f(2,5)eq \o(OB,\s\up10(→))，则点M的轨迹方程为(　　)A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1解析：选A.设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由eq \o(OM,\s\up10(→))＝eq \f(3,5)eq \o(OA,\s\up10(→))＋eq \f(2,5)eq \o(OB,\s\up10(→))，得(x，y)＝eq \f(3,5)(x0，0)＋eq \f(2,5)(0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)x0，,y＝\f(2,5)y0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(5,3)x，,y0＝\f(5,2)y，))由|AB|＝5，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)x))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)y))eq \s\up12(2)＝25，化简得eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量eq \o(OP,\s\up10(→))在向量eq \o(OA,\s\up10(→))上的投影为－eq \r(5)，则点P的轨迹方程是________．解析：由eq \f(\o(OP,\s\up10(→))·\o(OA,\s\up10(→)),|\o(OA,\s\up10(→))|)＝－eq \r(5)，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0.答案：x＋2y＋5＝08．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足eq \o(OC,\s\up10(→))＝eq \o(OA,\s\up10(→))＋t(eq \o(OB,\s\up10(→))－eq \o(OA,\s\up10(→)))，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．解析：设C(x，y)，则eq \o(OC,\s\up10(→))＝(x，y)，eq \o(OA,\s\up10(→))＋t(eq \o(OB,\s\up10(→))－eq \o(OA,\s\up10(→)))＝(1＋t，2t)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t，))消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.答案：y＝2x－29．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线焦点的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)．答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)10．已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．解：(1)由题意，得eq \f(|MP|,|MQ|)＝5，即eq \f(\r(（x－26）2＋（y－1）2),\r(（x－2）2＋（y－1）2))＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为2eq \r(52－32)＝8，所以l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝eq \f(|3k＋2|,\r(k2＋1))，由题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))))eq \s\up12(2)＋42＝52，解得k＝eq \f(5,12).所以直线l的方程为eq \f(5,12)x－y＋eq \f(23,6)＝0，即5x－12y＋46＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.B级　能力提升练11．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)A．x＋y＝5　　　　　　 B．x2＋y2＝9C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，可得y－eq \f(y2,9)＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝eq \f(1,3)，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是(　　)A．直线 B．圆C．双曲线 D．抛物线解析：选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．由题意知|PE|2－|PM|2＝1，又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，所以点P的轨迹为抛物线．13．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为(　　)A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,8)＝1(x≠0) B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1(x≠0)C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,8)＝1(y≠0) D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1(y≠0)解析：选D.设抛物线C的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，且|AA′|＋|BB′|＝2|OP|＝6.因为抛物线过点A，B，所以|AA′|＝|FA|，|FB|＝|BB′|，所以|FA|＋|FB|＝|AA′|＋|BB′|＝6＞|AB|＝2，所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1(y≠0)．14．如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________．解析：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．设曲线M的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq \s\up12(2)＝3，所以曲线M：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)为所求．答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)15．已知M为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足eq \o(PD,\s\up10(→))＝eq \f(5,3)eq \o(MD,\s\up10(→)).(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求eq \f(kQF,kPA)的取值范围．解：(1)设P(x，y)，M(m，n)，依题意知D(m，0)，且y≠0.由eq \o(PD,\s\up10(→))＝eq \f(5,3)eq \o(MD,\s\up10(→))，得(m－x，－y)＝eq \f(5,3)(0，－n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－x＝0，,－y＝－\f(5,3)n))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝x，,n＝\f(3,5)y.))又M(m，n)为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点，∴eq \f(x2,25)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)y))\s\up12(2),9)＝1，即x2＋y2＝25，故动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0)．(2)依题意知A(－5，0)，B(5，0)，F(－4，0)，设Q(x0，y0)，∵线段AB为圆E的直径，∴AP⊥BP，设直线PB的斜率为kPB，则kPA＝－eq \f(1,kPB)，eq \f(kQF,kPA)＝eq \f(kQF,－\f(1,kPB))＝－kQFkPB＝－kQFkQB＝－eq \f(y0,x0＋4)·eq \f(y0,x0－5)＝－eq \f(yeq \o\al(2,0),（x0＋4）（x0－5）)＝－eq \f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq \o\al(2,0),25))),（x0＋4）（x0－5）)＝eq \f(\f(9,25)（xeq \o\al(2,0)－25）,（x0＋4）（x0－5）)＝eq \f(\f(9,25)（x0＋5）,x0＋4)＝eq \f(9,25)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x0＋4)))，∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴－5＜x0＜5且x0≠－4，又y＝eq \f(1,x＋4)在(－5，－4)和(－4，5)上都是减函数，∴eq \f(9,25)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x0＋4)))∈(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，＋∞))，故eq \f(kQF,kPA)的取值范围是(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，＋∞)).