高考数学(理数)一轮复习检测卷：9.3《变量间的相关关系与统计案例》 (教师版)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较高的为(　　)

A．图1　　　　　　　 B．图2

C．图3  D．图4

解析：选A.根据残差图显示的分布情况即可看出，图1显示的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，所以拟合精度较高，故选A.

2．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果K2＞3.841，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为(　　)

A.5%  B．75%

C．99.5%  D．95%

解析：选D.由图表中数据可得，当K2＞3.841时，有0.05的概率说明这两个变量之间没有关系是可信的，即有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.

3．根据如下样本数据：

得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)

A．a＞0，b＞0  B．a＞0，b＜0

C．a＜0，b＞0  D．a＜0，b＜0

解析：选B.在平面直角坐标系中描点作出散点图(图略)，观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，截距a＞0.故选B.

4．某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，随机询问了110名高中生是否爱好游泳运动并得到如下的列联表(表1)．由K2＝，并参照附表(表2)，得到的正确结论是(　　)

表1

表2

A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”

C．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”

D．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”

解析：选A.由题意得K2＝≈7.822.

∵7.822＞6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”．

5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产某产品的过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是(　　)

A.回归直线一定过点(4.5,3.5)

B．产品的生产能耗与产量呈正相关

C．t的值为3.15

D．该产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

解析：选C.＝(3＋4＋5＋6)＝＝4.5，则＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，即回归直线一定过点(4.5,3.5)，故A正确．∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确．∵＝(2.5＋t＋4＋4.5)＝3.5，∴t＝3，故C错误．该产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确．

6．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由直方图可知

(　　)

A．估计体重的众数为50或60

B．a＝0.03

C．学生体重在[50,60)有35人

D．从这100名男生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为

解析：选C.根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为＝55，所以估计众数为55，A错误；根据频率和为1，计算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，B错误；体重在[50,60)内的频率是0.35，估计体重在[50,60)有100×0.35＝35人，C正确；体重在[60,80)内的频率为0.3＋0.2＝0.5，用频率估计概率，知这100名男生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为，D错误．

7．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，6)都在曲线y＝bx2－附近波动．经计算i＝11，i＝13，＝21，则实数b的值为________．

解析：令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性回归方程，即y＝bt－，此时＝＝，＝＝，代入y＝bt－，得＝b×－，解得b＝.

答案：

8．有甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表：

利用列联表的独立性检验估计，则成绩与班级________．(填“有关”或“无关”)

解析：成绩与班级有无关系，就是看随机变量的值与临界值2.706的大小关系．

由公式得K2的观测值K2＝≈0.653＜2.706，所以成绩与班级无关．

答案：无关

9．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．

参考公式与临界值表：K2＝.

解：(1)列联表如下：

(2)根据列联表中的数据，得到

K2＝≈7.486＜10.828.

因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．

10．某品牌2019款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S店分别进行了两天试销售，得到如下数据：

(1)分别以五家4S店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程＝x＋；

(2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)?

附：＝，＝－.

解：(1)∵五家4S店的平均单价和平均销量分别为(18.3,83)(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80)，(18.6,78)，

∴＝＝18.5，＝＝79，

＝＝＝－20.

∴＝－＝79－(－20)×18.5＝79＋370＝449，∴＝－20x＋449.

(2)设该款汽车的单价应为x万元，

则利润f(x)＝(x－12)(－20x＋449)＝－20x2＋689x－5 388，

f′(x)＝－40x＋689，令－40x＋689＝0，解得x≈17.2，

故当x≈17.2时，f(x)取得最大值．

∴要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为17.2万元．

B级　能力提升练

11．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

解：(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为＝72%；

乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为＝64%.

(2)完成的2×2列联表如下：

由表中数据计算得K2的观测值

k＝≈7.35＞6.635，

所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异．”

12．某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费xi(万元)和销售量yi(万台)的数据如下.

(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；

(2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系可得回归方程＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；

(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x，根据(2)的结果，当广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？

参考公式：＝，＝－ .参考数据：≈2.24.

解：(1)∵＝8，＝4.2，iyi＝279.4，＝708，

＝＝＝0.17，＝－ ＝4.2－0.17×8＝2.84.

∴y关于x的线性回归方程为＝0.17x＋2.84.

(2)R2越大反映残差平方和越小，拟合效果越好，

∵0.75＜0.88，

∴选用非线性回归模型＝1.63＋0.99更好．

(3)由(2)知，当x＝20时，销售量的预报值＝1.63＋0.99≈6.06(万台)，

利润的预报值＝200×(1.63＋0.99)－20≈1 191.48(万元)．

13．微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众帐号，手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：

若某人一天的走路步数超过8 000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．

(1)利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10 000步的概率；

(2)根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解：(1)根据表中数据可知，40位好友中走路步数超过10 000步的有8人，

∴利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10 000步的概率P＝＝0.2.

(2)根据题意完成2×2列联表如下：

∴K2＝≈2.5＜2.706，

∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．

14．“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”．某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x(单位：万元)和利润y(单位：十万元)之间的关系，得到下列数据：

(1)请用相关系数r说明y与x之间是否存在线性相关关系(当|r|＞0.81时，说明y与x之间具有线性相关关系)；

(2)根据(1)的判断结果，建立y与x之间的回归方程，并预测当x＝24时，对应的利润为多少(，，精确到0.1)．

附参考公式：回归方程中＝x＋中和最小二乘估计分别为＝，＝－ ，

相关系数r＝.

参考数据：iyi＝241，＝356，≈8.25，＝6.

解：(1)由题意得＝6，＝4.

又iyi＝241, ≈8.25，＝6，

所以r＝≈≈0.99＞0.81，

所以y与x之间存在线性相关关系．

(2)因为＝＝≈0.7，

＝－ ≈4－0.7×6＝－0.2，

所以回归直线方程为＝0.7x－0.2.

当x＝24时，＝0.7×24－0.2＝16.6，

所以预测当x＝24时，对应的利润为16.6.