2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡相应的选项标号涂黑）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）平面直角坐标系中，点（1，﹣2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A． B．3，4，5 C． D．9，12，15
4．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．10 D．12或15
5．（3分）将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移3个单位长度，平移后函数经过点（　　）
A．（2，5） B．（2，4） C．（2，3） D．（2，0）
6．（3分）如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判断△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．∠1＝∠2 C．∠C＝∠D D．AD＝BC
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　）

A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm
8．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x的增大而增大，则一次函数y1＝﹣x+k的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
9．（3分）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（　　）

A． B．6 C．5 D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）点A（2，﹣3）关于x轴的对称点A′的坐标是 　 　．
12．（3分）已知点P（a，b）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则2a+b＝　 　．
13．（3分）地球上的海洋面积约为361 000 000km2，将361 000 000精确到10 000 000，并用科学记数法表示这个近似数为　 　．
14．（3分）若一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6与m+3，则这个正数为　 　．
15．（3分）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是　 　．

16．（3分）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集为　 　．

17．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，BD，则线段BD的长等于 　 　．

18．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P'的坐标定义如下：当a≥b时，P'点坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，P'点坐标为（a+4，b﹣2）．线段l：y＝﹣0.5x+3（﹣2≤x≤6）上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线y＝kx+5与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（+1）0+（﹣2）﹣2；
（2）求（x+1）3﹣64＝0中x的值．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠B＝40°，AB＝BE，求∠DAE的度数．

21．（6分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．

22．（6分）如图，平面直角坐标系中有两点A（1，3）、B（3，﹣1），完成下列问题：
（1）求出经过A、B两点的一次函数表达式；
（2）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE+BE取最小值时，点E的坐标为 　 　；
（3）若点C（1，﹣2），在线段AC上找一点F，使点F到AB、BC的距离相等（请在图中标注出点F的位置）．

23．（8分）如图，一张长方形纸片ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＞AB．
（1）将矩形纸片ABCD折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．请在图①中尺规作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点P处，折痕AE交DC于点E．请用尺规在图②中作出点P和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，若AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，求ED的长．

24．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，点D是AB的中点，点P是直线BC上的一个动点，连接DP，过点D作DQ⊥DP交直线AC于点Q．
（1）如图1，当点P、Q分别在线段BC、AC上时（点Q与点A、C不重合），过点B作AC的平行线交QD的延长线于点G，连接PG、PQ．
①求证：PG＝PQ；
②若BC＝12，AC＝9，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数表达式；
（2）当点P在线段CB的延长线上时，依据题意补全图2，用等式表示线段BP、PQ、AQ之间的数量关系，并说明理由．

26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，D点是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边作等腰直角三角形ODE，使∠ODE＝90°，且E点在线段AC上，过D点作x轴的平行线交y轴于G，设D点的纵坐标为m．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）用含m的代数式表示E点的坐标，并求出m的取值范围；
（3）如图2，连接BE交DG于点F，若EF＝DF﹣2m，求m的值．


2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡相应的选项标号涂黑）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2．（3分）平面直角坐标系中，点（1，﹣2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（1，﹣2）在第四象限．
故选：D．
3．（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A． B．3，4，5 C． D．9，12，15
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵（）2+22≠（）2，
∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵32+42＝52，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵12+12＝（）2，
∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵92+122＝152，
∴以9，12，15为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．10 D．12或15
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．
故选：B．
5．（3分）将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移3个单位长度，平移后函数经过点（　　）
A．（2，5） B．（2，4） C．（2，3） D．（2，0）
【分析】根据函数图象平移的法则求得平移后的解析式，然后把x＝2代入求得函数值即可判断．
【解答】解：将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移3个单位长度，相应的函数是y＝2x﹣4+3＝2x﹣1，
当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3，
∴平移后函数经过点（2，3），
故选：C．
6．（3分）如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判断△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．∠1＝∠2 C．∠C＝∠D D．AD＝BC
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
【解答】解：A、∵AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，
∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
B、∵∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，∠1＝∠2，
∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
C、∵∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，
∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
D、根据AD＝BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确；
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　）

A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm
【分析】根据中点的定义得到DC＝BC，根据直角三角形的性质得到DE＝AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ADC中，点E为AC的中点，
∴DC＝BC，DE＝AC，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝×20＝10（cm）．
故选：A．
8．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x的增大而增大，则一次函数y1＝﹣x+k的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴一次函数y1＝﹣x+k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
9．（3分）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（　　）

A． B．6 C．5 D．
【分析】先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和S1+S2+S3＝18，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得S2的值．
【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∵S1+S2+S3＝18，
∴（a+b）2+（a2+b2）+（a﹣b）2＝18，
∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2＝18，
∴3（a2+b2）＝18，
∴a2+b2＝6，
∴S2＝a2+b2＝6，
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP＝1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得④正确．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，

∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP＝OD＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABO＝AB•OP＝，故②正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，

∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）点A（2，﹣3）关于x轴的对称点A′的坐标是 　（2，3）　．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，得出点A′的坐标．
【解答】解：点A（2，﹣3）关于x轴的对称点A′的坐标是：（2，3）．
故答案为：（2，3）．
12．（3分）已知点P（a，b）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则2a+b＝　1　．
【分析】先将点P代入函数解析式得到关于a与b的关系，然后即可得到2a+b的值．
【解答】解：将点P（a，b）代入y＝﹣2x+1得，﹣2a+1＝b，
∴2a+b＝1，
故答案为：1．
13．（3分）地球上的海洋面积约为361 000 000km2，将361 000 000精确到10 000 000，并用科学记数法表示这个近似数为　3.6×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于361 000 000有9位，所以可以确定n＝9﹣1＝8．
【解答】解：将361 000 000精确到10 000 000，并用科学记数法表示这个近似数为3.6×108．
故答案为：3.6×108．
14．（3分）若一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6与m+3，则这个正数为　16　．
【分析】根据题意得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6与m+3，
∴2m﹣6+m+3＝0，
m＝1，
∴2m﹣6＝﹣4，
∴这个正数为：（﹣4）2＝16，
故答案为：16
15．（3分）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是　﹣1　．

【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝，求得AD＝AC﹣CD＝﹣1，根据圆的性质得到AE＝AD，即可得到结论．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝﹣1，
∴点E表示的实数是﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（3分）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集为　x＞﹣　．

【分析】先利用自变量函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞﹣时，直线y＝kx+b都在直线y＝﹣3x的上方，于是可得到关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集．
【解答】解：把A（m，4）代入y＝﹣3x得﹣3m＝4，解得m＝﹣，
即A点坐标为（﹣，4），
当x＞﹣时，kx+b+3x＞0，
所以关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集为x＞﹣．
故答案为x＞﹣
17．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，BD，则线段BD的长等于 　　．

【分析】延长CE交AD于F，过B作BG⊥CE于G，由∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，得AB＝10，而∠ACB＝90°，CE为中线，得CE＝AE＝BE＝5，S△BCE＝S△ABC，由面积法可得BG＝，由折叠可得，CF垂直平分AD，知∠AFE＝90°＝∠BGE，AF＝DF，可得△AEF≌△BEG（AAS），即有AF＝BG＝，由勾股定理EF＝＝，根据三角形中位线定理即得BD＝2EF＝．
【解答】解：如图，延长CE交AD于F，过B作BG⊥CE于G，

∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵∠ACB＝90°，CE为中线，
∴CE＝AE＝BE＝5，S△BCE＝S△ABC，
∴CE×BG＝×AC×BC，即BG＝＝，
由折叠可得，CF垂直平分AD，
∴∠AFE＝90°＝∠BGE，AF＝DF，
又∵∠AEF＝∠BEG，AE＝BE，
∴△AEF≌△BEG（AAS），
∴AF＝BG＝，
∴EF＝＝，
∵AE＝BE，AF＝DF，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝，
故答案为：．
18．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P'的坐标定义如下：当a≥b时，P'点坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，P'点坐标为（a+4，b﹣2）．线段l：y＝﹣0.5x+3（﹣2≤x≤6）上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线y＝kx+5与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是 　﹣≤k≤﹣　．
【分析】求出直线在所给范围内的“变换点”组成的新图形的图象，新图形的端点（2，﹣2），（2，2），再将两个点代入y＝kx+5，再数形结合解题即可．
【解答】解：设y＝﹣0.5x+3上任意一点P（a，b），
∴b＝﹣0.5a+3，
当a≥b时，a≥﹣0.5a+3，
∴a≥2，
∴2≤a≤6时，P点的“变换点”P'（a，0.5a﹣3），
∴P'点在线段y＝0.5x﹣3上，
当a＜b时，a＜﹣0.5a+3，
∴a＜2，
∴﹣2≤a＜2时，P点的“变换点”P'（a+2，﹣0.5a+1），
∴P'点在线段y＝﹣0.5x+3上，
∵y＝kx+5经过定点（0，5），
∴当k＜0时，y＝kx+5与组成的新的图形有两个交点，
当x＝2时，y＝0.5x﹣3＝﹣2，y＝﹣0.5x+3＝2，
∴新图形经过点（2，﹣2），（2，2），
当y＝kx+5经过点（2，﹣2）时，k＝﹣，
当y＝kx+5经过点（2，2）时，k＝﹣，
∴﹣≤k≤﹣时，y＝kx+5与组成的新的图形有两个交点，
故答案为：﹣≤k≤﹣．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（+1）0+（﹣2）﹣2；
（2）求（x+1）3﹣64＝0中x的值．
【分析】（1）利用二次根式的性质，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义解答即可；
（2）利用立方根的意义解答即可．
【解答】解：（1）原式＝|﹣3|﹣1+
＝3﹣1+
＝2；
（2）∵（x+1）3﹣64＝0，
∴（x+1）3＝64．
∴x+1是64的立方根．
∴x+1＝4．
∴x＝3．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠B＝40°，AB＝BE，求∠DAE的度数．

【分析】（1）根据SAS即可证明．
（2）由AB＝BE，推出∠BAE＝∠BEA，由∠B＝40°，推出∠BAE＝∠BEA＝70°，由△ABD≌△ACE，推出AD＝AE，推出∠ADE＝∠AED＝70°，推出∠DAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE．

（2）解：∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵∠B＝40°，
∴∠BAE＝∠BEA＝70°，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．

21．（6分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4，
∴AD＝3，BD＝4，
∴DC＝4，
∴AC＝．

22．（6分）如图，平面直角坐标系中有两点A（1，3）、B（3，﹣1），完成下列问题：
（1）求出经过A、B两点的一次函数表达式；
（2）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE+BE取最小值时，点E的坐标为 　（0，2）　；
（3）若点C（1，﹣2），在线段AC上找一点F，使点F到AB、BC的距离相等（请在图中标注出点F的位置）．

【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先作B点关于y轴的对称点B′，然后连接AB′交y轴于E点，利用两点之间线段最短得到E点满足条件，从而得到E点坐标；
（3）作正方形BCQP，连接BQ交AC于F点．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
根据题意得，
解得，
∴经过A、B两点的一次函数表达式为y＝﹣2x+5；
（2）如图，E点坐标为（0，2）；
故答案为：（0，2）；
（3）如图，F点为所作．

23．（8分）如图，一张长方形纸片ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＞AB．
（1）将矩形纸片ABCD折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．请在图①中尺规作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点P处，折痕AE交DC于点E．请用尺规在图②中作出点P和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，若AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，求ED的长．

【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AD于点M，交BC于点N即可；
（2）以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点P，作∠DAP的角平分线AE交CD于点E即可；
（3）利用勾股定理求出BP，上DE＝DP＝x，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，直线MN即为所求；
（2）如图，直线AE，点P即为所求；

（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠B＝∠C＝90°，
由翻折的性质可知，AD＝AP＝5，DE＝PE，
∴BP＝＝＝3，
∴PC＝BC﹣PB＝5﹣3＝2，
设DE＝PE＝x，
在Rt△PEC中，PE2＝PC2+CE2，
∴x2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴DE＝．
24．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）根据题意以及（2）的结论可得y＝﹣4x+11000﹣500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：
，解得，
即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；

（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，
∵，解得：40≤x≤240，
又∵﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝240时，可以使总运费最少，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；

（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，
当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，
∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，
而0＜m≤15且m为整数，
∴m的最小值为10．
25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，点D是AB的中点，点P是直线BC上的一个动点，连接DP，过点D作DQ⊥DP交直线AC于点Q．
（1）如图1，当点P、Q分别在线段BC、AC上时（点Q与点A、C不重合），过点B作AC的平行线交QD的延长线于点G，连接PG、PQ．
①求证：PG＝PQ；
②若BC＝12，AC＝9，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数表达式；
（2）当点P在线段CB的延长线上时，依据题意补全图2，用等式表示线段BP、PQ、AQ之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）①由BG∥AC，得出∠A＝∠ABG，∠AQG＝∠BGQ，再判断出AD＝BD，进而判断出△ADQ≌△BDG（AAS），得出DG＝DQ，最后由垂直平分线定理，即可得出结论；
②先表示出BG，CP，利用勾股定理和PG＝PQ，建立方程求解，即可得出结论；
（3）先判断出BP2+BG2＝PG2，再借助（1）①的结论，代换，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵BG∥AC，
∴∠A＝∠ABG，∠AQG＝∠BGQ，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴△ADQ≌△BDG（AAS），
∴DG＝DQ，
∵DP⊥GQ，
∴DP是GQ的垂直平分线，
∴PG＝PQ；

②∵AC＝9，CQ＝y，
∴AQ＝AC﹣CQ＝9﹣y，
由①知，△ADQ≌△BDG，
∴BG＝AQ＝9﹣y，
∵BC＝12，BP＝x，
∴CP＝BC﹣BP＝12﹣x，
在Rt△PCQ中，PQ2＝CQ2+CP2＝y2+（12﹣x）2，
在Rt△PBG中，PG2＝BG2+BP2＝（9﹣y）2+x2，
由①知，PG＝PQ，
∴（9﹣y）2+x2，＝y2+（12﹣x）2，
∴y＝x﹣，
∵点Q在线段AC上，
∴0＜y＜9，
∴0＜x﹣＜9，
∴＜x＜，
∵点P在线段BC上，
∴0≤x≤12，
∴y关于x的函数表达式为y＝x﹣（＜x＜）；

（2）补全图形如图2所示，结论：BP2+AQ2＝PQ2；
理由：∵BG∥AC，
∴∠PBG＝∠BCA＝90°，
在Rt△PBG中，根据勾股定理得，BP2+BG2＝PG2，
由（1）①知，△ADQ≌△BDG，
∴BG＝AQ，
由（1）①知，PG＝PQ，
∴BP2+AQ2＝PQ2．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，D点是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边作等腰直角三角形ODE，使∠ODE＝90°，且E点在线段AC上，过D点作x轴的平行线交y轴于G，设D点的纵坐标为m．
（1）点C的坐标为　（12，9）　；
（2）用含m的代数式表示E点的坐标，并求出m的取值范围；
（3）如图2，连接BE交DG于点F，若EF＝DF﹣2m，求m的值．

【分析】（1）求出点A坐标可得结论．
（2）如图1中，延长CA交GD的延长线于H．证明△DGO≌△EHD（AAS），推出DG＝EH，OG＝DH，由题意D（12+m，m），推出OG＝AH＝﹣m，DG＝EH＝12+m，推出AE＝12+m﹣（﹣m）＝12+2m，可得E（12，12+2m）．
（3）求出直线BE的解析式，再求出点F的坐标，求出DF，EF，构建方程，可得结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（12，0），B（0，﹣12），
∵AC⊥x轴，
∴C（12，9）．
故答案为：（12，9）．

（2）如图1中，延长CA交GD的延长线于H．

∵∠DGO＝∠DHE＝∠ODE＝90°，
∴∠ODG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠ODG＝∠DEH，
∵OD＝DE，
∴△DGO≌△EHD（AAS），
∴DG＝EH，OG＝DH，
由题意D（12+m，m），
∴OG＝AH＝﹣m，DG＝EH＝12+m，
∴AE＝12+m﹣（﹣m）＝12+2m，
∴E（12，12+2m），
∵E点在线段AC上，
∴0≤12+2m≤9，
∴﹣6≤m≤﹣．

（3）如图2中，

∵B（0，﹣12），E（12，2m+12），
∴直线BE的解析式为y＝（2+m）x﹣12，
∴F（6，m），
∵D（12+m，m），
∴DF＝6+m，EF＝，
∵EF＝DF﹣2m，
∴＝6+m﹣2m，
解得m＝﹣4．