2021-2022学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共6小题，18分）
1．（3分）从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若＝，则AD：DB为（　　）

A．2：3 B．4：9 C．2：1 D．4：5
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（　　）

A．40° B．70° C．80° D．90°
6．（3分）函数y＝x+2与y＝的图象交点横坐标可由方程x+2＝求得，由此推断：方程m2+2＝中m的大致范围是（　　）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
二、填空题（每小题3分，共10小题，30分）
7．（3分）一组数据6，8，10，7的极差是 　 　．
8．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是　 　．
9．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣2＝0的一个解为x＝2，则m的值为　 　．
10．（3分）小红在地上画正方形ABCD，并顺次连接各边中点，得到如图所示的图形，然后在一定距离外向正方形内掷小石子，若每一次都掷在正方形ABCD内，且机会均等，则掷中阴影部分的概率是 　 　．

11．（3分）若2cos（α﹣15）°＝，则α＝　 　°．
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，则△ABC的面积为 　 　．
13．（3分）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 　 　寸．（1尺＝10寸）

14．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 　 　．
15．（3分）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为　 　．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点A（0，﹣2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足∠ADC＝90°，且DA＝DC，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积是 　 　．

三、解答题（共10小题，102分）
17．（12分）（1）解方程：x（x﹣4）＝2x﹣8；
（2）计算：2cos245°﹣tan30°•sin60°．
18．（8分）某学校开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）九（1）班竞赛成绩的众数是 　 　，九（2）班竞赛成绩的中位数是 　 　．
（2）哪个班的成绩较为整齐，试说明理由．

19．（8分）2022北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，摸出的球上的汉字是“来“的概率为 　 　．
（2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率．
20．（10分）学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．

21．（8分）某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

22．（10分）某种水笔，每支成本为5元，经过市场调查，每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该水笔每支的利润不允许高于进货价的40%．设这种水笔每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．
（1）利用直尺和圆规在BC上找一点E，使得CD2＝CE•CB（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BA＝，∠C＝30°，求CE长．

24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C＝∠ABD．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）请再从以下三个选项中选择两个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的计算过程．①AF＝10，②BF＝2，③BE＝．
你选择的条件是 　 　，结论是 　 　．（填序号）

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离之和等于点Q到x、y轴的距离之和，则称P、Q两点互为“和谐点”，如P（2，3）、Q（1，4）两点即互为“和谐点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点（0，3）、（﹣1，﹣3）、（2，2）中，点A的“和谐点”有 　 　（写出坐标）；
②点B是第一象限内直线y＝x+2上的点，且A、B两点互为“和谐点”，则点B的坐标为
　 　；
（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2互为“和谐点”，求k的值；
②当k＝时，点N是线段CD上一点，抛物线y＝x2+x+c（0≤x≤，c为常数，且c＞0）的图象上总存在点M，使得M、N两点互为“和谐点”，请直接写出常数c的取值范围．
26．（14分）如图（1），已知点P是抛物线y＝﹣x2+1的顶点，矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，连接线段BD、PD、BP，DP、AB交于点E．
（1）若D点坐标为（m，0），则点A、B、P坐标分别为A（ 　 　，　 　）、B（ 　 　，　 　）、P（ 　 　，　 　）（可用含m的代数式表示）．
（2）如图（1），①求证：∠BPD＝90°；
②连接PA．求证：PA2＝PD•PE．
（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线y＝﹣x2+1才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将y＝﹣x2+1作一般化处理，为研究方便，不妨设a＜0，请解决小明提出的如下两个问题：
①如图（1），抛物线y＝ax2+c中字母a、c满足什么条件才能使∠BPD＝90°．并说明理由；
②如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c中字母a、b、c满足什么条件才能使∠BPD＝90°．请直接写出结论．


2021-2022学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共6小题，18分）
1．（3分）从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由单词“happy”中有两个p，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵单词“happy”中有两个p，
∴抽中p的概率为：．
故选：C．
2．（3分）方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出x1+x2的值．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝4．
故选：A．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求出BC，再利用锐角三角函数求出结果即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，
由勾股定理得，BC＝＝＝6，
所以sinA＝＝＝，
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若＝，则AD：DB为（　　）

A．2：3 B．4：9 C．2：1 D．4：5
【分析】由DE∥BC，根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝．
∴＝．
∴＝＝2：1．
故选：C．
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（　　）

A．40° B．70° C．80° D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝140°，
∴∠A＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：C．
6．（3分）函数y＝x+2与y＝的图象交点横坐标可由方程x+2＝求得，由此推断：方程m2+2＝中m的大致范围是（　　）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
【分析】作作函数y＝x2+1与函数y＝﹣图象，观察交点横坐标即可得答案．
【解答】解：作函数y＝x2+1与函数y＝﹣图象如下：

根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足﹣2＜xM＜﹣1，即m2+2＝中m的大致范围是﹣2＜m＜﹣1，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共10小题，30分）
7．（3分）一组数据6，8，10，7的极差是 　4　．
【分析】一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为4．
【解答】解：10﹣6＝4．
故一组数据6，8，10，7的极差是4．
故答案为：4．
8．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是　15π　．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π．
故答案为15π．
9．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣2＝0的一个解为x＝2，则m的值为　﹣1　．
【分析】将x＝2代入已知方程即可得到一个关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
【解答】解：根据题意知，x＝2满足关于x的方程x2+mx﹣2＝0，则4+2m﹣2＝0，
解得，m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
10．（3分）小红在地上画正方形ABCD，并顺次连接各边中点，得到如图所示的图形，然后在一定距离外向正方形内掷小石子，若每一次都掷在正方形ABCD内，且机会均等，则掷中阴影部分的概率是 　　．

【分析】用阴影部分的面积除以大正方形ABCD的面积即可求得概率．
【解答】解：观察图形可知，阴影部分的面积是大正方形ABCD面积的一半，
故掷中阴影部分的概率是．
故答案为：．
11．（3分）若2cos（α﹣15）°＝，则α＝　45　°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵2cos（α﹣15）°＝，
∴cos（α﹣15）°＝，
∴α﹣15＝30，
解得：α＝45．
故答案为：45．
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，则△ABC的面积为 　27　．
【分析】先求出A，B，C的坐标，再以AB为底边，求出三角形ABC的高，即可求出面积．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x+1）（x﹣5），
∴当（x+1）（x﹣5）＝0时，x＝﹣1或x＝5，
∴A，B的坐标为（﹣1，0），（5，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝（﹣1+5）÷2＝2，
当x＝2时，y＝（2+1）（2﹣5）＝﹣9，
∴C（2，﹣9），
∴C到AB的距离为9，
∴S△ABC＝＝27，
故答案为：27．
13．（3分）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 　26　寸．（1尺＝10寸）

【分析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图：
设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，
∵OE⊥AB，AB＝10寸，
∴AD＝BD＝AB＝5（寸），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+52，
解得：x＝13，
∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），
即木材的直径CD是26寸，
故答案为：26．

14．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 　（﹣6，0）　．
【分析】根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，
∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），
故答案为：（﹣6，0）．
15．（3分）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为　3或　．
【分析】过A作AD⊥BC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案．
【解答】解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝2．
在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝，
∴DC＝＝＝，
∴BC＝BD+DC＝2+＝3；
如图2，同理可得，
AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝2，DC＝＝＝，
∴BC＝BD﹣DC＝2﹣＝．
综上所述，BC的长为3或；
故答案为：3或．


16．（3分）在平面直角坐标系中，点A（0，﹣2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足∠ADC＝90°，且DA＝DC，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积是 　2　．

【分析】连接OD，首先证明点D在第一象限的角平分线上运动，当点C与B重合时，点D与O重合，当点C与P重合时，点D的坐标为（2，2），再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：如图，连接OD．

∵∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴A，O，D，C四点共圆，
∴∠DOC＝∠DAC＝45°，
∴点D在第一象限的角平分线上运动，
当点C与B重合时，点D与O重合，
当点C与P重合时，如图：作DE⊥y轴于E，作DF⊥x轴于F，

∴DE⊥DF，
∴∠ADE+∠ADF＝∠PDF+∠ADF＝90°，
∴∠ADE＝∠PDF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE＝PF，
∴DE＝BD，
设点D的坐标为（x，y），
∴DE＝x＝BD＝y，
∵A（0，﹣2），P（6，0），AE＝PF，
∴2+x＝6﹣x，解得：x＝y＝2，
∴点D的坐标为（2，2），
∴当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积即△OAD的面积＝×OA×DE＝×2×2＝2，
故答案为：2．
三、解答题（共10小题，102分）
17．（12分）（1）解方程：x（x﹣4）＝2x﹣8；
（2）计算：2cos245°﹣tan30°•sin60°．
【分析】（1）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）先代入三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算减法即可．
【解答】解：（1）∵x（x﹣4）＝2x﹣8，
∴x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，
则（x﹣4）（x﹣2）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝2；
（2）原式＝（）2﹣×
＝﹣
＝0．
18．（8分）某学校开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）九（1）班竞赛成绩的众数是 　80分　，九（2）班竞赛成绩的中位数是 　85分　．
（2）哪个班的成绩较为整齐，试说明理由．

【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可．
【解答】解：（1）由图知，九（1）班成绩为80、80、80、90、100，
九（2）班成绩为70、80、85、95、100，
所以九（1）班成绩的众数为80分，九（2）班成绩的中位数为85分；
故答案为：80分，85分．
（2）九（1）班成绩较为整齐，理由如下：
∵九（1）班成绩的平均数为＝86（分），九（2）班成绩的平均数为＝86（分），
∴九（1）班成绩的方差为×[3×（80﹣86）2+（90﹣86）2+（100﹣86）2]＝64，
九（2）班成绩的方差为×[（70﹣86）2+（80﹣86）2+（85﹣86）2+（95﹣86）2+（100﹣86）2]＝114，
∴九（1）班成绩较为整齐．
19．（8分）2022北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，摸出的球上的汉字是“来“的概率为 　　．
（2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若从中任取一个球，摸出的球上的汉字是“来“的概率为；
故答案为：；

（2）根据题意画图如下：

共有20种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有4种，
则取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率为＝．
20．（10分）学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．

【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式列式求解即可．
【解答】解：（1）设AB边长为x米，则EF＝DC＝AB＝x米，
所以BC＝（21﹣3x）米；

（2）根据题意得：x（21﹣3x）＝30，
解得：x＝2或x＝5，
答：AB的长为2米或5米．
21．（8分）某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【分析】过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，根据坡度的概念、勾股定理分别求出QG、GA，进而求出EF，根据正切的定义求出PF，计算即可．
【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，
∴设QG＝x米，
∵山坡的坡度为i＝1：2.4，
∴AG＝2.4x米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，
解得：x＝2，
则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，
∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），
在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，
则PF＝EF•tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），
∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2.4＝0.6（m），
∴PQ＝8+0.6＝8.6（m）．
答：信号塔PQ的高约为8.6m．

22．（10分）某种水笔，每支成本为5元，经过市场调查，每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该水笔每支的利润不允许高于进货价的40%．设这种水笔每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，
设其函数关系式为y＝kx+b，
将（6，80），（8，40）代入得：，
解得k＝﹣20，b＝200，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣20x+200；
（2）由题意得：
w＝（﹣20x+200）（x﹣5）＝﹣20x2+300x﹣1000＝﹣20（x﹣7.5）2+125，
∵﹣20＜0，
∴当x≤7.5时，w随x的增大而增大，
∵该水笔的每件利润不允许高于进货价的40%，
∴x≤5×（1+40%），即x≤7，
∴当x＝7时，w取得最大值：最大值为120．
∴售价定为7元可获得最大利润，最大利润是120元．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．
（1）利用直尺和圆规在BC上找一点E，使得CD2＝CE•CB（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BA＝，∠C＝30°，求CE长．

【分析】（1）作∠CDE＝∠DBC，由∠C＝∠C，可证△CDE∽△CBD，得CD2＝CE•CB；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC＝2，AC＝3，同理再求出AD＝1，得出CD＝2，代入CD2＝CE•CB，从而解决问题．
【解答】解：（1）作∠CDE＝∠DBC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBD，
∴CD2＝CE•CB，
∴作∠CDE＝∠DBC，点E即为所求；

（2）在Rt△BAC中，BA＝，∠C＝30°，
∴BC＝2BA＝2，AC＝AB＝3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴AD＝1，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
由（1）知，CD2＝CE•CB，
∴22＝CE×2，
∴CE＝．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C＝∠ABD．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）请再从以下三个选项中选择两个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的计算过程．①AF＝10，②BF＝2，③BE＝．
你选择的条件是 　①②　，结论是 　③　．（填序号）

【分析】（1）连接OE，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠EOB＝2∠BDE，则可证明∠EOB＝∠A，则∠C+∠EOC＝90°，所以∠OEC＝90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）利用AF＝10，BF＝2得到OB＝6，再证明△BEF∽△BOE，然后利用相似比可得到DE＝2．
【解答】解：（1）CE与⊙O相切．
理由如下：连接OE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠EOB＝2∠BDE，∠A＝2∠BDE，
∴∠EOB＝∠A，
∵∠C＝∠ABD，
∴∠C+∠EOC＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴OE⊥EC，
而OE为⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）条件：①AF＝10，②BF＝2，结论：③BE＝，
解答过程为：∵AF＝10，，BF＝2，
∴OB＝6，
∵∠BED＝∠A，
而∠BOE＝∠A，
∴∠BEF＝∠BOE，
而∠EBF＝∠OBE，
∴△BEF∽△BOE，
∴BE：OB＝BF：BE，即BE：6＝2：BE，
∴BE＝2．
故答案为：①②；③．

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离之和等于点Q到x、y轴的距离之和，则称P、Q两点互为“和谐点”，如P（2，3）、Q（1，4）两点即互为“和谐点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点（0，3）、（﹣1，﹣3）、（2，2）中，点A的“和谐点”有 　（﹣1，﹣3）、（2，2）　（写出坐标）；
②点B是第一象限内直线y＝x+2上的点，且A、B两点互为“和谐点”，则点B的坐标为
　（1，3）　；
（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2互为“和谐点”，求k的值；
②当k＝时，点N是线段CD上一点，抛物线y＝x2+x+c（0≤x≤，c为常数，且c＞0）的图象上总存在点M，使得M、N两点互为“和谐点”，请直接写出常数c的取值范围．
【分析】（1）①由定义直接求解即可；
②设B（t，t+2），由题意可得4＝|t|+|t+2|，再解绝对值方程即可；
（2）①先求出T1（﹣1，﹣k﹣3）、T2（4，4k﹣3），由题意可得3＝|k+3|﹣|4k﹣3|，再解绝对值方程即可；
②设N（t，t﹣3），由题意可知0≤t≤6，则有3≤3+t≤6，设M（m，m2+m+c），当0≤x≤时，y的取值范围c≤y≤+c，再由M、N两点互为“和谐点”，可得3≤c≤6或3≤+c≤6，求出c的范围即可．
【解答】解：（1）①∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴点A的“和谐点”为（﹣1，﹣3）、（2，2），
故答案为：（﹣1，﹣3）、（2，2）；
②设B（t，t+2），
∵A、B两点互为“和谐点”，
∴4＝|t|+|t+2|，
当t≥0时，2t+2＝4，
解得t＝1，
∴B（1，3）；
当t≤﹣2时，﹣2t﹣2＝4，
解得t＝﹣3，
此时B点与A点重合，舍去；
故答案为：（1，3）；
（2）①∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，
∴T1（﹣1，﹣k﹣3）、T2（4，4k﹣3），
∵T1、T2互为“和谐点”，
∴1+|﹣k﹣3|＝4+|4k﹣3|，
∴3＝|k+3|﹣|4k﹣3|，
当k≥时，k+3﹣4k+3＝3，
解得k＝1；
当﹣3≤k＜时，k+3+4k﹣3＝3，
解得k＝；
当k＜﹣3时，﹣k﹣3+4k﹣3＝3，
解得k＝3（舍）；
综上所述：k的值为1或；
②当k＝时，y＝x﹣3，
∴C（6，0），D（0，﹣3），
∵点N是线段CD上一点，
设N（t，t﹣3），0≤t≤6，
∴t+（3﹣t）＝3+t，
∴3≤3+t≤6，
设M（m，m2+m+c），
∵y＝x2+x+c中c＞0，
∴当0≤x≤时，y的取值范围c≤y≤+c，
∵M、N两点互为“和谐点”，
∴3≤c≤6或3≤+c≤6，
∴3≤c≤6或﹣≤c≤，
∴0＜c＜或3≤c≤6．
26．（14分）如图（1），已知点P是抛物线y＝﹣x2+1的顶点，矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，连接线段BD、PD、BP，DP、AB交于点E．
（1）若D点坐标为（m，0），则点A、B、P坐标分别为A（ 　m　，　﹣m2+1　）、B（ 　﹣m　，　﹣m2+1　）、P（ 　0　，　1　）（可用含m的代数式表示）．
（2）如图（1），①求证：∠BPD＝90°；
②连接PA．求证：PA2＝PD•PE．
（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线y＝﹣x2+1才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将y＝﹣x2+1作一般化处理，为研究方便，不妨设a＜0，请解决小明提出的如下两个问题：
①如图（1），抛物线y＝ax2+c中字母a、c满足什么条件才能使∠BPD＝90°．并说明理由；
②如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c中字母a、b、c满足什么条件才能使∠BPD＝90°．请直接写出结论．

【分析】（1）由矩形的性质，抛物线的对称性可求点的坐标；
（2）①分别求出PB2＝m2+m4，PD2＝m2+1，BD2＝4m2+（﹣m2+1）2，再由勾股定理得BD2＝PB2+PD2，即可证明；
②证明△PEA∽△PAD，即可求解；
（3）①由P（0，c），B（﹣m，﹣am2+c），D（m，0），分别求出PB2，PD2，BD2，再由BD2＝PB2+PD2，可得2ac+4＝2，即可得ac＝﹣1；
②设y＝a（x﹣h）2+k，则P（h，k）设D（h+m，0），则A（h+m，am2+k），B（h﹣m，am2+k），分别求出PB2，PD2，BD2，由BD2＝PB2+PD2，可得2ak+1＝0，又由k＝，得到方程＝﹣，即可得4ac﹣b2＝2．
【解答】解：（1）∵D点坐标为（m，0），四边形ABCD是矩形，
∴A点横坐标是m，
∵点A在该抛物线上，
∴A（m，﹣m2+1），
∵B点与A点关于y轴对称，
∴B（﹣m，﹣m2+1），
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴顶点P（0，1），
故答案为：m，﹣m2+1，﹣m，﹣m2+1，0，1；
（2）①∵D（m，0），B（﹣m，﹣m2+1），P（0，1），
∴PB2＝m2+m4，PD2＝m2+1，BD2＝4m2+（﹣m2+1）2，
∵BD2＝4m2+（﹣m2+1）2＝m4+2m2+1＝PB2+PD2，
∴△BPD是直角三角形，
∴∠BPD＝90°；
②∵∠BPD＝90°，∠EAD＝90°，∠PEB＝∠AED，
∴∠PBA＝∠PDE，
∵PB＝PA，
∴∠PBA＝∠PAB，
∴∠PAD＝∠PAE+90°＝∠PBA+90°，
∠PEA＝90°+∠PDA，
∴∠PAD＝∠PEA，
∴△PEA∽△PAD，
∴＝，
∴PA2＝PD•PE；
（3）①∵y＝ax2+c，
∴P（0，c），B（﹣m，﹣am2+c），D（m，0），
∴PB2＝m2+a2m4，PD2＝m2+c2，BD2＝4m2+（﹣am2+c）2，
∵∠BPD＝90°；
∴BD2＝PB2+PD2，
∴4m2+（﹣am2+c）2＝a2m4+2acm2+c2＝m2+a2m4+m2+c2，
∴2ac+4＝2，
∴ac＝﹣1；
②设y＝a（x﹣h）2+k，
∴P（h，k），
设D（h+m，0），则A（h+m，am2+k），B（h﹣m，am2+k），
∴PB2＝m2+a2m4，PD2＝m2+k2，BD2＝4m2+（am2+k）2，
∵∠BPD＝90°；
∴BD2＝PB2+PD2，
∴4m2+（am2+k）2＝m2+a2m4+m2+k2，
∴2ak+1＝0，
∵k＝，
∴＝﹣，
∴4ac﹣b2＝2．