数学必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性授课课件ppt

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奇函数、偶函数的概念   奇函数、偶函数的图像特征(1)奇函数⇔图像是以④　坐标原点    为对称中心的中心对称图形.(2)偶函数⇔图像是以⑤    y轴    为对称轴的轴对称图形.
 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.f(x)是定义在R上的函数.若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. (    ✕　)2.若f(x)为奇函数,则f(0)=0. (    ✕　)3.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(|x|). (　√　)4.函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数. (    ✕　)5.若偶函数的图像不过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数. (　√　)6.不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. (    ✕　)存在,f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数.7.若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. (    ✕　)函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.
　　已知函数f(x)=(x+1)(x-1),g(x)=x3-x,h(x)= .问题1.判断各个函数的奇偶性时,关键要注意什么?提示:注意函数的定义域.2.函数f(x)= + 的奇偶性是怎样的呢?提示:既是奇函数又是偶函数.
 如何判断函数的奇偶性
 判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法:
 分段函数奇偶性的判断判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间 转化.若函数在x=0处有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时必须判断 每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征.也可以作出函数图像结合 对称性判断.拔高问题3.定义在R上的函数f(x),对于任意实数a、b都有f(a+b)=f(a)+f(b).如何判断函数f(x) 的奇偶性?提示:令a=b=0⇒f(0)=0;令a=-x,b=x⇒f(-x)=-f(x).
破疑典例1.( )判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)= ;(2)f(x)=|x-2|+|x+2|;(3)f(x)= 
思路点拨:先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再计算f(-x)并判断f(-x)与f(x)的关系, 从而得出结论.解析　(1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,又|x+2|-2≠0,∴x≠0,且x≠-4,∴函数f(x)的定义域D={x|-1≤x≤1,且x≠0},∴函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+2>0,∴f(x)= = ,于是任取x∈D,都有f(-x)= =- =-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.因为f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函 数.
(3)函数的定义域M=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈M,当x>0时,-x0时,f(x)= +1,求f(x)的解析式.思路点拨:设x0,结合f(-x)=-f(x),f(0)=0,可求f(x)的解析式.解析　设x0,∴f(-x)= +1,∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-f(x)= +1,∴f(x)=- -1,∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(x)=   
 　1.函数的奇偶性与单调性的差异:奇偶性可理解为函数图像在定义域上的对称性,单调性反映函数在某一区间上函数值的变化趋势,奇偶性是相对于函数的 整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调 性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的 每一个x,都有f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)),才说f(x)是奇(偶)函数.2.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上 单调性相反.
   函数奇偶性与单调性的综合应用
3.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.(2)若f(x)为奇函数,f(x)+2在[a,b]上有最大值M,则f(x)+2在[-b,-a]上有最小值-M+4.4.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用奇偶性把自变量转 化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较.
破疑典例　( )(1)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1、x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)·[ f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有(　　)A.f(-n)