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人教版新高考数学二轮复习课件--专项突破六 解析几何解答题
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这是一份人教版新高考数学二轮复习课件--专项突破六 解析几何解答题，共60页。PPT课件主要包含了必备知识•精要梳理，关键能力•学案突破，精典对练·得高分，一题多解·练思维等内容，欢迎下载使用。
1.圆锥曲线中常见的求范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可.误区警示在求函数的值域时,一定要特别注意变量的取值范围.
2.圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法(1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值
最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决
3.圆锥曲线中的证明问题,主要有两类一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某条直线上、某条直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些相等或不等的数量关系.
考向一 圆锥曲线中线段长度、三角形面积的最值或范围问题[例1](2021·山东德州一模)已知椭圆E: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为 -1,以椭圆E的短轴为直径的圆过点(2,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)若过F2的直线交椭圆E于A,B两点,过F1的直线交椭圆E于C,D两点,且AB⊥CD,求四边形ACBD面积的取值范围.
③当AB和CD都不与x轴垂直时,直线AB斜率存在且不为0,
规律方法目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
精典对练·得高分(2021·全国Ⅰ,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,∴P(2k,-b).
一题多解·练思维(2021·辽宁丹东二模)已知点A(0,-3),B(0,3),动点M满足直线AM与BM的斜率之积为- ,记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)经过点D(0,1)的直线l与C相交于P,Q两点,求|AP|·|AQ|的最大值.
曲线C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含上、下两个顶点.(2)解法1设P(x1,y1),由(1)可知AP,AQ不垂直于x轴,
点评此题为直线和椭圆的位置关系问题,解题思路一般有以下两种:(1)从一条直线出发:可设直线l,与椭圆联立,用韦达定理表示两根的关系,然后用弦长公式表示|AP|,|AQ|,代入计算;(2)从两条直线出发,分别设直线AP,AQ,设而不求,利用三点共线找关系再计算.
考向二 圆锥曲线中几何量或某个参数的范围、最值问题
探究提高圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
精典对练·得高分(2021·河北邯郸检测)如图,已知抛物线C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线与☉M相切于A,B两点,分别交抛物线于E,F两点.(1)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,求直线EF的斜率;(2)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.
解 (1)抛物线C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,则M(4,0),当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,可知点H(4,2),且满足kHE=-kHF.设E(x1,y1),F(x2,y2),
易错防范·不丢分(2021·江苏连云港模拟)已知双曲线x2- =1,斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.(1)若直线l过点P(0,1),且PB=3AP,求直线l的斜率k;(2)若线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求k的取值范围.
易错点评求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时,经常需要联立直线与圆锥曲线的方程,消去一个未知量后,利用根与系数的关系转化解答.此时一定要满足直线与曲线有两个不同的交点,故不要忽略判别式Δ>0,否则可能导致错解.
考向三 圆锥曲线中的证明问题
解题心得解决证明问题的方法与步骤解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.常用的证明方法有:①证A,B,C三点共线,可证kAB=kAC或②证直线MA⊥MB,可证kMA·kMB=-1或③证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上.
精典对练·得高分(2021·浙江台州二模)已知点F为椭圆C: +y2=1的左焦点,记点P到直线l:x=-2的距离为d,且d=|PF|.(1)求动点P的轨迹方程.(2)过点P作椭圆C的两条切线PA,PB,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),连接AF,BF.求证:①直线PA的方程为x1x+2y1y-2=0;②AF⊥FB.
数学思想·扩思路函数与方程思想(2021·浙江杭州高级中学模拟)如图,已知C1:(x-1)2+(y+1)2= 和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)当直线PM与圆C1相切,且|PM|=|FM|时,求x0的值;(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,A,B分别为切点,求证:存在两个x0,使得△PAB面积等于
点评解决本题第(2)问的关键点是由同构方程 -k1x0+y0=0, -k2x0+y0=0知k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,从而得到k1+k2=x0,k1k2=y0.再利用零点存在定理判定三次函数在给定区间上的零点个数问题.对函数与方程思想体现的比较全面.
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再通过研究变化的量与参数何时没有关系来找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形求得.
3.解决存在性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.
考向一 圆锥曲线中的定值问题
(1)求动点M的轨迹方程;(2)当x≥0时,记动点M的轨迹为曲线C,过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P(异于原点O),过点P作圆O':(x-1)2+y2=1的切线交C于另一点Q,证明:|kOP-kOQ|为定值.
当x≥0时,化简可得y2=2x(x≥0);当x<0时,y=0.所以曲线M的轨迹方程为y2=2x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)证明 设直线OP,OQ的斜率分别是k1,k2,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=2,解得P(2,2),Q(2,-2),k1=1,k2=-1,则|k1-k2|=2.当直线PQ的斜率存在时,设方程为y=mx+b,由题意知m≠0,b≠0,
解题心得圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可.
(2021·福建师大附中月考)已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的虚轴长为4,直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程;(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l,与双曲线交于两点M,N,直线MA交y轴于点P,直线NB交y轴于点Q,记△PAT的面积为S1,△QBT的面积为S2,求证: 为定值.
(1)求椭圆E的标准方程;(2)若A,B,C为椭圆E上的3个动点,且△ABC的重心是O(0,0),求证:△ABC的面积为定值,并求这个定值.
(2)解法1:设A(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2),因为△ABC的重心是O(0,0),所以x1+x2=-m,y1+y2=-n.又因为A(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2)为椭圆E上的动点,
解法2:设A(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2),因为△ABC的重心是O(0,0),所以x1+x2=-m,y1+y2=-n,当直线BC的斜率存在时,设直线BC的方程为y=kx+p,
考向二 圆锥曲线中的定点问题
即NP⊥NQ,以PQ为直径的圆经过定点N(0,-1).综上所述,以PQ为直径的圆经过定点N(0,-1).
规律方法解圆锥曲线中定点问题的常用方法(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或截距式y=kx+b来证明.
精典对练·得高分(2021·山东青岛三模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C上不同的两点M,N同时满足下列三个条件中的两个:①|FM|+|FN|=|MN|;②|OM|=|ON|=|MN|=8 ;③直线MN的方程为y=6p.(1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件?并求抛物线C的标准方程;
所以kOG=kOZ,所以O,G,Z共线,所以直线OZ经过线段AB的中点.
易错防范·不丢分(2021·辽宁沈阳模拟)已知A,B,C分别为椭圆C1: +y2=1(a>1)的左、右、上顶点,F为抛物线C2:y2=2x的焦点,AC⊥CF,P为抛物线C2的准线上的动点,PA与椭圆C1的另一交点为M,PB与椭圆C1的另一交点为N.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)证明:直线MN过定点.
代入①式,得(12-5m2)(n2-4)+10m2n(n+2)-5(n+2)2(m2+4)=0,解得n=-2(舍去)或n=-8.故直线MN的方程为x=my-8,即直线MN过定点(-8,0).若t=0,则直线MN的方程为y=0,直线MN过点(-8,0).综上,直线MN过定点(-8,0).
点评此类问题要避免三个方面的错误:(1)忽视对直线MN的斜率为0的情况的讨论.这也是直线与圆锥曲线综合问题中设直线方程时需要注意的一点.(2)运算方向不明确,未考虑整体代入,或运算出错.(3)未利用曲线的范围挖掘隐含条件导致增解.
考向三 圆锥曲线中的存在探究性问题
规律方法有关存在性问题的求解策略(1)存在性问题通常采用“顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般先作出结论,后给出证明(理由).
(2021·广东广州二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上的点到点A(0,p)的距离的最小值为2.(1)求C的方程;(2)若点F是C的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,l1与C交于M,N两点,l2与C交于P,Q两点,线段MN,PQ的中点分别是S,T,是否存在定圆使得直线ST截该圆所得的线段长恒为定值?若存在,写出一个定圆的方程;若不存在,说明理由.
(2)存在这样的定圆,该定圆方程为x2+(y-3)2=r2(r为常数,且r≠0),理由如下:因为F是C的焦点,所以F(0,1).依题意,直线l1的斜率k存在且k≠0,设l1:y=kx+1,
所以存在定圆H:x2+(y-3)2=r2(r为常数,且r≠0),使得直线ST截圆H所得的线段长恒为定值2|r|.
数学思想·扩思路函数与方程思想
(1)求双曲线C的方程.(2)是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M,N两点,使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形?若存在,求出所有直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(2)存在满足题意的直线l,其方程为2x-16y+3=0.理由如下:由(1)可得B(0,1),假设存在过点D的直线l与双曲线C交于M,N两点,使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形,则直线l的斜率显然存在,
为使△BMN构成以B为顶点的等腰三角形,只需BP⊥MN,所以kBP·kMN=kBP·k=-1.
1.圆锥曲线中常见的求范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可.误区警示在求函数的值域时,一定要特别注意变量的取值范围.
2.圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法(1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值
最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决
3.圆锥曲线中的证明问题,主要有两类一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某条直线上、某条直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些相等或不等的数量关系.
考向一 圆锥曲线中线段长度、三角形面积的最值或范围问题[例1](2021·山东德州一模)已知椭圆E: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为 -1,以椭圆E的短轴为直径的圆过点(2,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)若过F2的直线交椭圆E于A,B两点,过F1的直线交椭圆E于C,D两点,且AB⊥CD,求四边形ACBD面积的取值范围.
③当AB和CD都不与x轴垂直时,直线AB斜率存在且不为0,
规律方法目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
精典对练·得高分(2021·全国Ⅰ,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,∴P(2k,-b).
一题多解·练思维(2021·辽宁丹东二模)已知点A(0,-3),B(0,3),动点M满足直线AM与BM的斜率之积为- ,记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)经过点D(0,1)的直线l与C相交于P,Q两点,求|AP|·|AQ|的最大值.
曲线C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含上、下两个顶点.(2)解法1设P(x1,y1),由(1)可知AP,AQ不垂直于x轴,
点评此题为直线和椭圆的位置关系问题,解题思路一般有以下两种:(1)从一条直线出发:可设直线l,与椭圆联立,用韦达定理表示两根的关系,然后用弦长公式表示|AP|,|AQ|,代入计算;(2)从两条直线出发,分别设直线AP,AQ,设而不求,利用三点共线找关系再计算.
考向二 圆锥曲线中几何量或某个参数的范围、最值问题
探究提高圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
精典对练·得高分(2021·河北邯郸检测)如图,已知抛物线C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线与☉M相切于A,B两点,分别交抛物线于E,F两点.(1)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,求直线EF的斜率;(2)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.
解 (1)抛物线C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,则M(4,0),当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,可知点H(4,2),且满足kHE=-kHF.设E(x1,y1),F(x2,y2),
易错防范·不丢分(2021·江苏连云港模拟)已知双曲线x2- =1,斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.(1)若直线l过点P(0,1),且PB=3AP,求直线l的斜率k;(2)若线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求k的取值范围.
易错点评求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时,经常需要联立直线与圆锥曲线的方程,消去一个未知量后,利用根与系数的关系转化解答.此时一定要满足直线与曲线有两个不同的交点,故不要忽略判别式Δ>0,否则可能导致错解.
考向三 圆锥曲线中的证明问题
解题心得解决证明问题的方法与步骤解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.常用的证明方法有:①证A,B,C三点共线,可证kAB=kAC或②证直线MA⊥MB,可证kMA·kMB=-1或③证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上.
精典对练·得高分(2021·浙江台州二模)已知点F为椭圆C: +y2=1的左焦点,记点P到直线l:x=-2的距离为d,且d=|PF|.(1)求动点P的轨迹方程.(2)过点P作椭圆C的两条切线PA,PB,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),连接AF,BF.求证:①直线PA的方程为x1x+2y1y-2=0;②AF⊥FB.
数学思想·扩思路函数与方程思想(2021·浙江杭州高级中学模拟)如图,已知C1:(x-1)2+(y+1)2= 和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)当直线PM与圆C1相切,且|PM|=|FM|时,求x0的值;(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,A,B分别为切点,求证:存在两个x0,使得△PAB面积等于
点评解决本题第(2)问的关键点是由同构方程 -k1x0+y0=0, -k2x0+y0=0知k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,从而得到k1+k2=x0,k1k2=y0.再利用零点存在定理判定三次函数在给定区间上的零点个数问题.对函数与方程思想体现的比较全面.
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再通过研究变化的量与参数何时没有关系来找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形求得.
3.解决存在性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.
考向一 圆锥曲线中的定值问题
(1)求动点M的轨迹方程;(2)当x≥0时,记动点M的轨迹为曲线C,过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P(异于原点O),过点P作圆O':(x-1)2+y2=1的切线交C于另一点Q,证明:|kOP-kOQ|为定值.
当x≥0时,化简可得y2=2x(x≥0);当x<0时,y=0.所以曲线M的轨迹方程为y2=2x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)证明 设直线OP,OQ的斜率分别是k1,k2,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=2,解得P(2,2),Q(2,-2),k1=1,k2=-1,则|k1-k2|=2.当直线PQ的斜率存在时,设方程为y=mx+b,由题意知m≠0,b≠0,
解题心得圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可.
(2021·福建师大附中月考)已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的虚轴长为4,直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程;(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l,与双曲线交于两点M,N,直线MA交y轴于点P,直线NB交y轴于点Q,记△PAT的面积为S1,△QBT的面积为S2,求证: 为定值.
(1)求椭圆E的标准方程;(2)若A,B,C为椭圆E上的3个动点,且△ABC的重心是O(0,0),求证:△ABC的面积为定值,并求这个定值.
(2)解法1:设A(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2),因为△ABC的重心是O(0,0),所以x1+x2=-m,y1+y2=-n.又因为A(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2)为椭圆E上的动点,
解法2:设A(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2),因为△ABC的重心是O(0,0),所以x1+x2=-m,y1+y2=-n,当直线BC的斜率存在时,设直线BC的方程为y=kx+p,
考向二 圆锥曲线中的定点问题
即NP⊥NQ,以PQ为直径的圆经过定点N(0,-1).综上所述,以PQ为直径的圆经过定点N(0,-1).
规律方法解圆锥曲线中定点问题的常用方法(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或截距式y=kx+b来证明.
精典对练·得高分(2021·山东青岛三模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C上不同的两点M,N同时满足下列三个条件中的两个:①|FM|+|FN|=|MN|;②|OM|=|ON|=|MN|=8 ;③直线MN的方程为y=6p.(1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件?并求抛物线C的标准方程;
所以kOG=kOZ,所以O,G,Z共线,所以直线OZ经过线段AB的中点.
易错防范·不丢分(2021·辽宁沈阳模拟)已知A,B,C分别为椭圆C1: +y2=1(a>1)的左、右、上顶点,F为抛物线C2:y2=2x的焦点,AC⊥CF,P为抛物线C2的准线上的动点,PA与椭圆C1的另一交点为M,PB与椭圆C1的另一交点为N.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)证明:直线MN过定点.
代入①式,得(12-5m2)(n2-4)+10m2n(n+2)-5(n+2)2(m2+4)=0,解得n=-2(舍去)或n=-8.故直线MN的方程为x=my-8,即直线MN过定点(-8,0).若t=0,则直线MN的方程为y=0,直线MN过点(-8,0).综上,直线MN过定点(-8,0).
点评此类问题要避免三个方面的错误:(1)忽视对直线MN的斜率为0的情况的讨论.这也是直线与圆锥曲线综合问题中设直线方程时需要注意的一点.(2)运算方向不明确,未考虑整体代入,或运算出错.(3)未利用曲线的范围挖掘隐含条件导致增解.
考向三 圆锥曲线中的存在探究性问题
规律方法有关存在性问题的求解策略(1)存在性问题通常采用“顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般先作出结论,后给出证明(理由).
(2021·广东广州二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上的点到点A(0,p)的距离的最小值为2.(1)求C的方程;(2)若点F是C的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,l1与C交于M,N两点,l2与C交于P,Q两点,线段MN,PQ的中点分别是S,T,是否存在定圆使得直线ST截该圆所得的线段长恒为定值?若存在,写出一个定圆的方程;若不存在,说明理由.
(2)存在这样的定圆,该定圆方程为x2+(y-3)2=r2(r为常数,且r≠0),理由如下:因为F是C的焦点,所以F(0,1).依题意,直线l1的斜率k存在且k≠0,设l1:y=kx+1,
所以存在定圆H:x2+(y-3)2=r2(r为常数,且r≠0),使得直线ST截圆H所得的线段长恒为定值2|r|.
数学思想·扩思路函数与方程思想
(1)求双曲线C的方程.(2)是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M,N两点,使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形?若存在,求出所有直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(2)存在满足题意的直线l,其方程为2x-16y+3=0.理由如下:由(1)可得B(0,1),假设存在过点D的直线l与双曲线C交于M,N两点,使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形,则直线l的斜率显然存在,
为使△BMN构成以B为顶点的等腰三角形,只需BP⊥MN,所以kBP·kMN=kBP·k=-1.
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