九年级数学 培优竞赛新方法-第15讲 圆的基本性质 讲义学案

第15讲   圆的基本性质

知识纵横

到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。用圆的基本性质解题应注意：

1. 熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明
2. 了解弧的特性及中介作用
3. 善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化

例题求解

【例1】在半径为1的圆中，弦的长分别为和，则度数为_________

（黑龙江省中考题）

思路点拨    作出辅助线，解直角三角形，注意有不同的位置关系。

【例2】是圆内一点，圆的半径为，点到圆心的距离为，通过点，长度是整数的弦的条数是（     ）         

（江苏省竞赛题）

思路点拨    过点最长的弦为圆的直径，最短的弦与垂直（为什么），可求得过点点的弦长范围。

【例3】如图，已知点顺次在圆上，弧弧,于，求证

（江苏省竞赛题）

思路点拨     用截长（截）或补短（延长）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。

【例4】如图，的直径为，过半径的中点作弦，在弧上取一点，分别作直线、，交直线于点、。

（1）求和的度数；

（2）求证：~；

（3）如图，若将垂足G改取为半径上任意一点，点改取在弧上，仍作直线、，分别交直线于点、，试判断：此时是否有~?证明你的结论。

（苏州市中考题）

思路点拨   （1）在中，利用；（2）证明，；（3）利用图的启示思考。

【例5】如图，半径为2的中，弦与弦垂直相交于点，连接OP，若，求的值。

（黑龙江省竞赛题）

【例6】（1）如图，已知多边形是由边长为2的等边三角形和正方形组成，过点、、三点，求的半径。

（2）如图，若多边形是由等腰和矩形组成，，过点、、三点，问的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

分析与解   对于（1），给出不同解法；对于（2），的半径不改变，解法类似（1）。

学习训练

学力训练

基础夯实

1、如图，点、是上两点，，点是上的动点（与、不重合），连接、，过点分别作于，于，则_______.

                 (兰州市中考题)

2、如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且，已知，则的半径为_______。

（2011年安徽省中考题）

3、如图，的三个顶点的坐标分别为，则外接圆的半径长度为_______。

（济南市中考题）

4、如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为_______cm。

A、2        B、        C、        D、

（连云港市中考题）

5、如图，梯形中，，，以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心O到弦的距离是（   ）cm。

A、      B、9       C、        D、

(南通市中考题)

6、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（   ）cm。

（芜湖市中考题）

7、如图，已知的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点。若求的长。

（广东省中考题）

8、如图，在中，已知是直径，为上一点，弦过点，

(1)若求的长；

(2)当点在上运动时（保持的度数不变），试问：的值是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求出其值得取值范围。

9、如图，在中，SHI 的角平分线，过、、三点的圆与斜边交于点，连接。

（1）求证：；

（2）求外接圆的半径。

（陕西省中考题）

能力拓展

10. 圆的直径为，弦弦，，，则梯形的面积为_________________                                             （黄冈市竞赛题）

11.如图，半径为的圆与轴交于点函数的图象过点，则________________                                       （武汉市中考题）

12. 如图，在以为直径的半圆中，有一个边长为的内接正方形，则以和的长为两根的一元二次方程是            .          

 （2011年日照市中考题）

13. 如图，用个边长为的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（       ）

 （天津市选拔赛试题）

14. 是圆内一点，圆的半径为，点到圆心的距离为，通过点、长度是整数的弦的条数是（       ）

 (黄冈市竞赛题)

15. 如图，点为弦上的一点，连接，过点作，交圆于，若，，则的长为（       ）

                          无法确定          

（黑龙江省竞赛题）

16. 如图，正方形的顶点、和正方形的顶点、在一个以为半径的圆上，点、在线段上，若正方形的边长为，求正方形的边长

（上海市竞赛题）

17. 如图，已知弦垂直于圆的直径于，弦平分半径于，求证：弦平分线于.                              

  （第21届全俄九年级奥林匹克试题）

综合创新

18. （1）如图①，已知为圆的弦，是劣弧的中点，直线于点，求证：

  （1）如图②，已知为圆的弦，是优弧的中点，直线于点，问：于之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论

19. 如图，在中，为边上一点，且，过作的垂线交的外接圆于，过作的垂线，交圆于，求证：为外接圆的直径

                                                                （荆门市竞赛题）