九年级数学 培优竞赛新方法-第17讲 直线与圆 讲义学案

第17讲   直线与圆

    对数学之美的感受，对数与形之和谐的感受，对几何学之优雅的感受，这是一种所有数学家都深知的真正的美感。

-----庞加莱

知识纵横

    直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察。

    讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定力、弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：

例题求解

【例1】如图，已知，．是的中点，⊙O与分别相切于点与点．点是⊙O与的一个交点，连并延长交的延长线于点．则=       ．

（杭州市中考题）

思路点拨  连,，先求出的长。

【例2】如图，在等腰三角形中，为底边的中点，以为圆心作半圆与相切，切点分别为．过半圆上一点作半圆的切线，分别交于．那么的值等于（　　）

1.        B.      C.        D .

（天津市竞赛题）

思路点拨  分别从点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探寻与的关系式关键。

【例3】如图，已知直线交⊙O于两点，是⊙O的直径，点为⊙O上一点，且平分，过作，垂足为．
（1）求证：为⊙O的切线；
（2）若，⊙O的直径为，求的长度．

（2011芜湖市中考题）

思路点拨  对于（2），在（1）的基础上，设，则，由角平分线性质或垂径定理建立的方程。

【例4】如图，已知⊙O的半径为，射线经过点，，射线与⊙O相切于点．两点同时从点出发，点以的速度沿射线方向运动，点以的速度沿射线方向运动．设运动时间为．
（1）求的长；
（2）当为何值时，直线与⊙O相切。

（南京市中考题）

思路点拨  对于（2），把相关线段用的式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、分类讨论是解题的关键。

【例5】如图，已知三角形内接于⊙O，为⊙O的切线，作交于，连接并延长交于F,求证：

（太原市竞赛题）

分析 要证明，只需证明即可，连，将问题转为证明

动态思维

【例6】如图，已知点，，经过两点的直线以每秒个单位的速度向下作匀速平移运动，分别交轴、轴于两点，与此同时，点从点出发，在直线上以每秒个单位的速度沿直线向右下方作匀速运动，设它们运动的时间为秒
（1）用含的代数式表示点的坐标；
（2）过作于，过作于，问：为何值时，以为圆心、为半径的圆与直线相切？并说明此时⊙P与直线的位置关系．

（无锡市中考题）

分析  问题涉及平移点的运动，把相关线段用的式子表示是解题的基础，而化动为静（画出相切时图形），分类讨论（⊙P在左侧与相切）是解题的关键。

学历训练

基础夯实

1. 如图，与⊙O相切于点,的延长线交⊙O于点，连接．若，则       度．

（河北省中考题）

2如图，⊙M与轴相交于，与轴相切于点，则圆心的坐标是（　　）

（沈阳市中考题）

3. 如图，切⊙O于点，点是⊙O上一点，且，则

=              度．

（河南省中考题）

4.如图，直线相交于点，，半径为1cm的⊙P的圆心在射线上，开始时，．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由向的方向移动，那么当⊙P的运动时间（秒）满足         条件时，⊙P与直线相交．

（甘肃省中考题）

5.已知，与⊙O相切于，，点是圆上异于的一动点，则的度数是（　　）

6.如图，已知两点的坐标分别为，⊙C的圆心坐标为，半径为1．若是⊙C上的一个动点，射线与轴交于点，则面积的最大值是（　　）

A．           B．          C．        D．

（苏州市中考题）

7. 如图．⊙0的半径为2，点的坐标为．直线为⊙O的切线，为切点，则点的坐标为（　　）

1.            B．       

C．        D．

（威海市中考题）

8.已知：如图，为⊙O的直径，为⊙O的切线，为切点，交⊙O于点，的延长线交于点，连接．以下结论：①；②点为的内心；③；④．其中正确的只有（　　）

9.如图，直线交轴与点，交轴于点，⊙过两、两点。

（1）如图①，若⊙交于点,当在上时,求弦的长。

（2）如图②，当⊙与直线相切于点时，求圆心的坐标。

（3）当平分的外角时，请画出图形，并求⊙的半径长。

10.如图，在中，，的平分线交与点，交于点．

（1）设⊙O是的外接圆,求证：是⊙O的切线；

（2）设⊙O交于点，连接，求的值．

                            （芜湖市中考题）

能力拓展

11.如图，为半⊙O的直径，为半圆弧的三等分点，过，两点的半⊙O的切线交于点，若的长是，则的长是        ．

（浙江省竞赛题）

12.如图，在中，，⊙O分别与相切于点，圆心在上，若，则⊙O的半径等于        ．

13. 如图，是圆的直径的延长线上的一点，与圆相切于点，的平分线交于点Q，则=     

（四川省竞赛题）

14.如图，正方形的边长为，以为直径向正方形内作半圆，与是半圆的切线，为切点，交于点．则=      ，的面积是      ．

15. 如图，已知直线l的解析式是，并且与轴、轴分别交于两点．一个半径为的⊙C，圆心从点开始以每秒个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，则该圆运动的时间为       

（衡州市中考题）

16. 如图在边长为的正方形中，分别是的中点，以为圆心，以为半径画弧．是弧上的一个动点，连接，并延长交线段于点，过点作⊙O的切线，分别交射线于点，交直线BC于点G．若，则=          ．

（金华市中考题）

17. 如图，已知是半圆的直径，为过点的半圆的切线，在弧上任取一点（点与不重合），过点作于，是的中点，连接并延长交于点，连接．

（1）当点是弧的中点时（如图1），求证：直线是半圆的切线；

（2）当点不是弧的中点时（如图2），试猜想直线与半圆的位置关系，并证明你的猜想．

（苏州市中考题）

18.如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．

（河北省中考题）

19. 如图，在等腰中，已知,的平分线与边交于点，、分别为的内切圆与边的切点，作,交圆于点.证明:是圆的切线。

（全国初中数学竞赛题）

综合创新

20.如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连接OC叫⊙O于点D，BD的延长线交AC于E．
（1）求证：CD=AE；
（2）求AE的长．

（四川省竞赛题）

21.如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若，求△ABC的周长．

（广州市中考题）