九年级数学 培优竞赛新方法-第19讲 圆中比例线段 讲义学案

第19讲  圆中比例线段

知识纵横

  角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。

相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。

1、相交弦定理

如图①，若圆内两条弦、交于点，则。

2、切割线定理

如图②，若从圆外一点引圆的切线，和割线，则。

3、割线定理

如图③，若从圆外一点引圆的两条割线、，则。

例题求解

【例1】如图，已知是的直径，弦与交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若，,点为的中点，则_______.

(2011年全国初中数学联赛题)

思路点拨    设法求出，的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。

【例2】如图，在平行四边形中，过、、三点的圆交于点，且与相切，若则的长为（     ）。

A.3        B.4         C.        D.

（全国初中数学联赛题）

思路点拨    连、,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创造条件。

【例3】如图，已知是的外接圆，是的直径，是劣弧的中点，交于点。

（1）求证：;

（2）若求的长。

（泸州市中考题）

思路点拨     对于（1），只需证明 ∽ 。

【例4】如图，已知为的直径且，是的一条弦，直线交直线于点，

（1）求证：直线是的切线；

（2）求的值。

（2011年呼和浩特市中考题）

思路点拨     对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2）将问题转化求线段的比值。

【例5】如图，是半圆O的直径，D是弧中点，四边形的对角线、交于点。

（1）求证：；

（2）若求弦和直径的长。

（天津市竞赛题）

分析    由条件延长、交于一点，向形外作辅助线，为构造相似三角形、切割线定理的运用创造条件。

寻找不变性

【例6】如图，是半圆O的直径，射线、为半圆O的切线。在上取一点，连接交半圆于点，连接。过O点作的垂线，垂足为点，与相交于点过点作半圆O的切线，切点为，与相交于点。

（1）求证： ∽ ；

（2）求证：当D在上移动时（A点除外），点始终是线段的中点。

（2011年潍坊市中考题）

思路点拨    对于（2），即要证明不妨从比例线段入手，能发现图中多对相似三角形是证题的关键。

学力训练

基础夯实

1、如图，已知、、、是上的四个点，交于点E，则的长为____________.                 (2011年黑龙江省中考题)

2、如图，、为的两条割线，若则____________.

3、如图，、是的两条线，它们相交于点，连接、，已知那么的长是___________.

4、如图，在中，以为直径作圆与斜边交于点,则的长为（     ）。

A.6.4         B.3.2         C.3.6      D.8

5、如图，已知为的直径，切于，切于，交的延长线于。若则的长为（    ）。

A.2        B.3        C.3.5       D.4

6、如图，与的斜边切于点，与直角边交于点，且。已知则的半径是（    ）。

A.3       B.4        C.      D.

7、如图，在锐角中，是最短边，以中点为圆心，长为半径作，交于，过作交于点，连接、、。

（1）求证：是弧的中点；

（2）求证：；

（3）若，且求的长。

（2012年桂林市中考题）

8、如图，在圆内接四边形中，为的外角的平分线，为弧上一点，延长与的延长线交于。

（1）求证：为等腰三角形；

（2）求证：.

(2011年黄冈市中考题)

9、如图，已知是的直径，连接，弦，直线交直线于.

（1）求证：直线是的切线；

（2）探究线段与之间的数量关系，并加以证明；

（3）求的值。

（襄阳市中考题）

能力拓展

10、如图，已知中，以为圆心，为半径作圆交的延长线于点，则的长为___________.

（太原市竞赛题）

11、如图，为圆的直径，若则___________.

（第19届江苏省竞赛题）

12、如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若，则__________.

13、如图，是的内接正三角形，弦经过的中点，且，若则的长（    ）

14、如图，已知为的直径，为上一点，延长至，使，于，交于，交于，求证：.

（太原市竞赛题）

15、如图，已知中，以边为直径的交于点，在劣弧上取一点使，延长依次交于，交于。

（1）求证：；

（2）若的直径等于10，求的长。

（2011宜宾市中考题）

16、如图，、是的两条切线，是一条割线，是与的交点，若求的长。

综合创新

17、如图，圆中的三条线、、两两相交，交点分别为、、，已知，求证：是等边三角形。

（北京市竞赛题）

18、 已知：如图，以矩形的对角线的中点为圆心，长为半径作，经过、两点，过点作，垂足为。过作，分别与、、及的延长线相交于点、、、．

(1)求证：；

  (2)如果， (为大于零的常数)，求的长：

(3)若是的中点，且，求的半径和的长．

（2011成都市中考题）