九年级数学 培优竞赛新方法-第28讲 圆与直角坐标系——由动点生成的相切问题 讲义学案

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第28讲  圆与直角坐标系——由动点生成的相切问题 知识纵横     直线与圆相切是与圆有关的位置关系中特殊而重要的一类，在直角坐标系中，由动点生成的相切问题，把点的坐标、直线形、抛物线、圆等丰富的知识融合在一起，既引进于运动观念，又考查了数形结合、分析转化、分类讨论等思想方法及探究能力。例题求解【例1】如图，关于的二次函数图象的顶点为M，图象交轴于两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为．定点的坐标为（﹣3，0），连接．    （1）写出三点的坐标；    （2）当为何值时点在直线上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当变化时，用表示的面积，并在给出的直角坐标系中画出关于的函数图象的示意图．                                                            （2011年潍坊市中考题）思路点拨   对于（2）连接，比较与的大小；对于（3），当变时，关于有不同的表达式 【例2】抛物线交轴于两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为（1）求二次方程的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到两点距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径.                                                                （潍坊市中考题）思路点拨  对于（2），,当共线时，最大；对于（3），把点的横坐标与圆的半径联系起来          【例3】经过轴上两点的抛物线交轴于点，设抛物线的顶点为，若以为直径的⊙经过点，求解下列问题：
（1）用含的代数式表示出的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，当时，能否在抛物线上找到一点，使为直角三角形？你能写出点的坐标吗？                                                                  （湖南中考题）思路点拨   对于（3），因直角顶点为确定，故需分情况讨论.解题的关键是，以所探讨的直角为基础，构造像是三角形，建立方程.          【例4】如图,已知直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点．
（1）求两点的坐标；
（2）一个圆心在坐标原点、半径为的圆，以个单位/s的速度向轴正方向运动，问在什么时刻该圆与直线相切？（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点从点出发，沿方向以个单位/秒的速度运动，问：在整个运动过程中，点在动圆的圆面上（圆上和圆的内部）一共运动了多少时间？                                                                  （盐城市中考题）分析   对于（2），先求从开始到相切时，圆心走过的距离；对于（3），求出点在圆上运动的时间，而点在沿方向在直线上运动，其运动过程与速度之比为，恰好等于，届本例的关键是需就动圆，动点位置进行讨论.         【例5】如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴的垂线，垂足为，．若抛物线过点两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点关于直线的对称点为，判断点是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙是以为直径的圆．过原点作的切线为切点（与点不重合），抛物线上是否存在点，使得以为直径的圆与相切？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．                        （福州市中考题）分析与解   对于（3），坐出与圆相关的辅助线，点是直线与抛物线的交点，故解题关键是求出的坐标
          学力训练1．已知抛物线，经过点和点（1）求抛物线的解析式：
（2）现有一半径为，圆心在抛物线上运动的动圆，问⊙在运动过程中，是否存在⊙与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若⊙的半径为，点在抛物线上，且⊙与两坐轴都相切时，求半径的值．                                                               （南昌市中考题）             如图，直线分别与轴、轴相交于点，点，且，一个圆心在坐标原点，半径为的圆，以个单位/秒的速度向轴正方向运动，设此动圆圆心离开坐标原点的时间为（秒）．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，为何值时，动圆与直线相切；
（3）如图2，若在圆开始运动的同时，一动点从点出发，沿方向以个单位/秒的速度运动，设秒时点到动圆圆心的距离为，求与的关系式；
（4）在（3）中，动点自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？                                                                (烟台市中考题)          3.已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与轴交点的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为三点，若，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为，以为直径，为圆心作⊙，试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由．                                                          （2011年桂林市中考题）               已知：函数的图象与轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数图象的顶点为，与轴的交点为为图象上的一点，若以线段为直径的圆与直线相切于点，求点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与轴另一交点关于直线的对称点为，试探索点是否在抛物线上？若在抛物线上，求出点的坐标；若不在，请说明理由                                                                  （盐城市中考题）