九年级数学 培优竞赛新方法-配方法 讲义学案
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配方法
把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式：
- ；
【例1】已知实数满足，则的最大值为
（镇江市中考题）
思路点拨 把用的式子表示，通过配方法求出的最大值。
【例2】已知，满足，， ，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
（河北省竞赛题）
思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手
【例3】已知是正整数，且是一个正整数的平方，求的最大值。
（北京市竞赛题）
思路点拨 设（为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。
【例4】已知是整数，且，求的值
（浙江省竞赛题）
【例5】若是实数，且，确定的最小值
（北京市竞赛题）
分析与解 选择为主元，将条件等式重新整理成的二次三项式，利用配方求的最小值。
练习
- 设，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
（2011年南通市中考题）
- 已知（为任意实数），则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.不能确定
（泰州市中考题）
- 若实数，满足，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
（2011年天津市中考题）
- 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
（2011年江西省竞赛题）
- 已知实数满足，则的值等于
（天津市竞赛题）
- 当时，化简代数式得
（“希望杯”邀请赛试题）
- 已知为实数，且满足，则的最小值为 。
（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）
- 满足方程的所有实数对为 。
（“新知杯”上海市竞赛题）
- 设实数为实数，求代数式的最小值。
（江苏省竞赛题）
- 如图，将一矩形放在直角坐标系中，为坐标原点，点在轴上，点是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
(1）若的而积分别为．且，求的值．
(2）若，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
（2011年莆田市中考题）
- 求满足且的所有整数解。
（英国首相奥林匹克试题）
- 试确定：对于怎样的正整数，方程有正整数解？并求出方程的所有正整数解。
（2011年江西省竞赛题）
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