九年级数学 培优竞赛新方法-第7讲 转化与化归 讲义学案

第七讲     转化与化归

                          可化为一元二次方程的方程及方程组

数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
【例题求解】
【例1】 已知关于的方程有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为               。

思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。

【例2】方程的解的情形是（      ）

A、无解          B、恰有一个解    C、恰有两个解    D、有无穷多个解

思路点拨：由配方法得，即

，通过讨论去掉绝对值符号。

【例3】解下列方程：

（1）                            （河南省竞赛题）

（2）；                        （山东省竞赛题）

（3）；                   （“祖冲之杯”邀请赛试题）

（4）                    （西安市竞赛题）

思路点拨：

按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1），利用倒数关系换元；对于（2），从受到启示；对于（3），设，则可导出、的结果；对于（4），视，为整体，可得到、的值。

【例4】解下列方程（组）：

（1）、                            （克罗地亚奥林匹克试题）

（2）              （2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题）

非等价转化

【例5】若关于的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求的值与方程的解。

分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值。

学力训练

1、方程的解是          。                       （威海市中考题）

2、方程的整数解是         。                  （天津市中考题）

3、用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（        ）            

A、     B、    C、     D、

5、关于的方程的解是负数，则的取值范围是（       ）。

A、       B、且      C、      D、且

                                                              （山西省中考题）

6、下列方程有实数解的是（      ）

A、     B、     C、    D、

                                                              （潍坊市中考题）

7、解方程组

                                                   （2011年上海市中考题）

8、解下列方程：

（1）                           （上海市中考题）

（2）                         （苏州市中考题）

（3）                               （天津市中考题）

（4）

9、（1）求方程所有实数根的积。

                                                     （日本数学奥林匹克试题）

（2）解方程组

                                                      （太原市竞赛题）

能力拓展：

10、解方程得           。

                                                       （“祖冲之杯”邀请赛试题）

11、方程的解是           。   （第16届江苏省竞赛题）

12、若实数、满足，则＝           。

                                                        （第20届江苏省竞赛题）

13、若实数、、满足方程组，则（       ）

A、    B、   C、   D、

14、如果方程的三个根可以作为一个三角形的三边长，则实数的值为（      ）

A、3    B、4     C、5      D、6

                                                    （四川省竞赛题）

15、关于的方程仅有两个不同的实根，则实数的取值范围是（       ）。

A、      B、      C、     D、

                                                  （全国初中数学联赛）

16、解下列方程（组）：

（1）

                                           （2011年青少年数学国际城市邀请赛）

（2）                       

（3）                  （德国数学奥林匹克试题）

（4）                （太原市竞赛题）

（5）                           （加拿大数学奥林匹克试题）

17、对于实数，只有一个实数值满足等式，试求所有这样的实数的和。 

                                                    （第19届江苏省竞赛题）

综合创新：

18、已知关于、的方程组有整数解，求满足条件的质数。

                                                             （四川省竞赛题）

19、已知、、三数满足方程组，试求方程的根。

                                                         （全国初中数学联赛题）