八年级数学 培优竞赛 专题19 平行四边形、矩形、菱形 讲义学案

专题19   平行四边形、矩形、菱形

例1  75°       例2   A   只有命题③正确.

例3 （1）△BEF为正三角形  提示：由△ABD和△BCD为正三角形，可证明△BDE≌△BCF，

得：BE=BF，∠DBE=∠CBF.

∵∠DBC=∠CBF+∠DBF=∠DBE+∠DBF=60°，即∠EBF=60°，故△BEF为等边三角形.

(2)设，则可得：，

当BE⊥AD时，有最小值为.

∴.

当BE与AB重合时，有最大值为2，

∴. ∴.

例4  提示：PC=EF=PD，，可证明

△CPB≌△DPB.

例5 （1）略    （2）45°   （3）60°如图，延长AB至H，使AH=AD，连DH，则

△AHD是等边三角形.

∵AH=AD=DF，∴BH=GF，

又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF，

∴△DBH≌△DGF，∠BDH=∠GDF，

∴

例6 如图过M作，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，得NE=AM，ME⊥BC.

∵ME=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC.

∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4.

∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE.

∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°.

∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°.

           A级

1.          2.

3. 26° 提示：作FG边上中线，连接EC，则EF=EC=AC.

4. 20° 提示：连接AC，则△AFC≌△AEB，△AEF为等边三角形. 5.C   6.B  7.D

8. A    提示：E、F分别为AB、BC中点.

9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD是平行四边形的有以下9种

情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥.

10.  提示：（2）当D为BC中点时，满足题意.

11.  提示：连AM，证明△AMF≌△BME，可证△MEF为等腰直角三角形.

12. 6  提示：由△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四边形AEFD为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F到AD的距离为2，故.

B级

1. 9   2.    提示：可以证明.   3.

4. 10   提示：可先证：AF=CF.设，则，

∴. ∴. ∴.

5.   提示：过A作AG⊥BD于G可证PE+PF=AG，

由可得：.

6. cm  提示：A，C关于BD对称，连AE交BD于P.

∴PE+PC=AE.

又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴为最小.

7. B

8. B   提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.

9. C

10.(1)=；图略     （2）1；图略     （3）3；图略     （4）以AB为边的矩形周长最小，用面积法证明．

11．证明：连AC，如图，则易证△ABC与△ADC都为等边三角形．

(1)若∠MAN＝60°，则△ABM≌△ACN．

∵AM＝AN，∠MAN＝60°，

∴△AMN为等边三角形．

(2)∠AMN＝60°，过M作CA的平行线交AB于P．

∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，

∴△BPM为等边三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC．

又∠APM＝120°＝∠MCN．

∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN，

∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°．

故△AMN为等边三角形．

12．提示：如图，分别过点A作AM∥EF，过点C作CP∥AB，过点E作EN∥AF，它们分别交于N，M，P点，得ABCM、CDEP、EFAN，则EF＝AN，AB＝CM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由条件得△NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．