八年级数学 培优竞赛 专题26 相对相称—对称分析法 讲义学案

                      专题26      相对相称

                             ————对称分析法

例1   5

例2     提示：将b=2-a代入    得，构造图形如下图，可得 W的最小值为.                                                                                                   

例3  提示：设  ，则，

即  ，可得 .

例4   证明   以AC为对称轴，将△ADO翻转，D点必落在BO上，设为，则 =AD，=OD；同理，将△BCO翻转，C点必落在AO上，设为，则,连接、、，交于E，则，

在△ABE和△中，有

①       +②得，，即AD+BC>AB+CD.                                                                               

例5   作B关于AC的对称点，连，则N关于AC的对称点在上的，这时 ，B到M的最小值等于 的最小值,等于B到的距离，即BM+MN的最小值为BH’。连接B与AB’和DC的交点P，则cm2

设AP=x，则PC=x，DP=20-x，由 ，得x=12.5，故cm，即BM+MN的最小值为16cm。

能力训练

1．300º   

2．4

3．提示：分别作点P关于OB，OA的对称点P1，P2，连P1P2分别交OB，OA于R，Q，则△PQR周长=PR+RQ+PQ= P1R+RQ+ P2QP1P2，连OP1，OP2，则OP1=OP2=OP=10，

，

所以 ，即△PQR的周长的最小值为

4．10582  提示：设，，则，，

5．B

6．C

7．C

8．B  提示：作点A关于BC的对称点D，在取BD的中点，

9． ，

10．13  提示：作线段AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AC=2，DB=3，在AB上去AP=x，则BP=12-x，即在AB上求点P，使PC+PD值最小，运用对称分析法可求。

11．提示：观察计算：（1）（a+2）      （2）

探究归纳：（1）①<    ②>

（2）

①当，即时，，，∴；

②当，即时，，，∴；

②当，即时，，，∴；

综上可知：当时，选方案二；当时，选方案一或方案二；当时，选方案一。

12．（1）作B（4，-1）关于x轴的对称点B’（4，1），连AB’，交x轴于点P，△PAB的周长最短，P（3.5，0），即x=3.5。

（2）将点B（4，-1）向左平移3个单位到，再作B1关于x轴的对称点，连AB，交x轴于点C，再将点C向右平移3个单位得到点D，得C（1.25，0），即a=1.25。

（3）作点A（2，-3）关于y轴的对称点A’（-2，-3），作点B（4，-1）关于x轴的对称点B’（4，1），连A’B’交x轴于点M，交y轴于点N，则四边形ABMN的周长最短，M（2.5，0），N（0，），即m=2.5，。

13．（1）正方形   （2）

14．（1）5；        （2）4：5