高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算教案

空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标：

1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；

2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。

教学重点：空间向量的基本定理及其推论

教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解

教学过程：

一、创设情景

平面向量基本定理的内容及其理解

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，

使

二、建构数学

1、空间向量的基本定理

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使

证明：（存在性）设不共面，

过点作

过点作直线平行于，交平面于点；

在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使

∴

所以

（唯一性）假设还存在使

∴  ∴

不妨设即     ∴

∴共面此与已知矛盾   ∴该表达式唯一 ，综上两方面，原命题成立

由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使

三、数学运用

2、例2 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量

解：

 ∴