专题16 动点最值之瓜豆模型 -2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题16 动点最值之瓜豆模型

模型一、运动轨迹为直线

问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？

解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1

理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.

模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量．

结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角

③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；

例1.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

【答案】

【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．

取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．

根据∠ABP＝60°，可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，

OP2＝OA＝3，所以．

例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

答案答】

【分析】∵∠PAB＝90°，∠APB＝30°，∴可得：AP:AB＝，故B点轨迹也是线段，

且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，

故B点轨迹长为．

【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？

【答案】

【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．

CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．

根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．过点E作EF⊥CH于点F，

则HF＝＝1，，所以，因此CG的最小值为．

【变式训练2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形．若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为　6　．

【解答】解：当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示，

所以点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径为MN的长，

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝30°，

∵AB＝6，∴AD＝＝3，∵△EDM是等边三角形，∴AM＝AD＝3，∠DAM＝60°，

∴∠NAM＝30°+60°＝90°，∵AN＝AB＝3，在Rt△NAM中，

由勾股定理得：MN＝＝＝6，则M点所经历的路径长为6，故答案为：6．

【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是　　．

【解答】解：E的运动路径是线段EE'的长；

∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝，

当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，

∴DE'＝，∠CDE'＝30°，

当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，

在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案为．

【变式训练4】如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为               .

【答案】6

【解析】如图所示，∵∠FCB＝30º，∴F的路径是定射线DF，又∵点M是DF的中点，∴，

∵D点为定点，F点为主动点，M点为从动点，由瓜豆原理内容可知M点的路径亦是一条射线，

取CD的中点N，连接NM并延长，则射线NM就是M点的路径，且NM∥CF，

作BG⊥NM于点G，交CF于点H，则BG⊥CF，故BG＝BH＋HG＝BH＋CN＝4＋2＝6，

∴线段BM的最小值即为BG，最小值为6.

模型二、运动轨迹为圆

问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

解析：Q点轨迹是一个圆

理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．

问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

解析：Q点轨迹是一个圆

理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

模型总结：

条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

例1.如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

【答案】1.5

【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．

∵C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示：

由题中数据可知OP＝5，又∵点A、F分别是OB、BP的中点，∴AF是△BPO的中位线，∴AF＝2.5，

当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，∴AC＝2.5－1＝1.5.

例2.如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（    ）

A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6

【答案】A

【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，

∵，∴，即

在和中，，∴，∴，

∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，

要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，

∵是边长为4的等边三角形，∴点M到BC的距离是，

∴点D到BC的最大距离是，∴的面积最大值是．故选：A．

例3.如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

【解析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，

故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．

考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．

直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．答案为

【变式训练1】如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

【答案】π

【解析】当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点，

，

设分别为AC、BC的中点，连接交CP于点O，如图所示：

∵，

当点P沿半圆从点A运动至点B时 ，点M的运动路径是以O为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆，

∴点M的运动路径长为π.

【变式训练2】如图，AB为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，

∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，

当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大,∵∴∠COH＝60°

在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC=AB=3，

∴OH＝OC＝，CH＝，

在Rt△CKH中，CK＝，∴CQ的最大值为，故选：D．

【变式训练3】如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （     ）

A．3 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】解：如图，可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，证明如下：

连接BP,∵,∴BD=DC,

∵是的中点，

∴DE//BP, ,

所以当BP的长最大时，长的最大，

由题意可知P在BA延长线与的交点时BP的长最大此时长的最大，

∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,

∵的半径为2，即AP=2,

∴BP=5+2=7,∴.

故选：B.

课后训练

1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为           .

【解答】

【解析】由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB，点E为从动点，

∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45º，，

结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45º，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小来的，

如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离（点B到的最短距离），

由旋转相似可得，，

，在中，有，则，

∴线段BE的最小值为.

3.如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____．

【答案】

【详解】解：如图，在上方以为一边作等边，连接，

和都是等边三角形，，

，即，

在和中，，，，

点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，设与交于点，过点作于点，则，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为，

，，是等边三角形，，

，，

在中，，则，

即的最小值为，故答案为：．

4.点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为                       .

【答案】

【解析】连接OC，作CD⊥轴于点D，AE⊥轴于点E，如图所示：

设点A的坐标为，

∵A、B两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，

∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，

∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，∴∠DOC＋∠AOE＝90º，

∵∠DOC＋∠DCO＝90º，∴∠DCO＝∠AOE，

在△COD与△OAE中，，∴△COD≌△OAE（AAS），

，

，∴点C在反比例函数的图像上.

7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为____________．

【答案】

【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，

∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°

∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK

当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，

在中，∵∠COH=60°，OC=1，∴OH=，

在中，，∴CQ的最大值为．故答案为：．

8.如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点

A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，

点C的运动路径长　4　．

【解答】解：过点C'作C'D⊥x轴，C'E⊥y轴

∵点M（0，4），N（4，0），∴OM＝ON，

∵∠CA'C'+45°＝∠EAB+∠MGB＝45°+∠MGB，∴∠EA'C'＝∠B'GB，

∵∠B'GB+∠GB'B＝45°，∠GB'B+∠DB'C'＝45°，∴∠EA'C'＝∠DB'C'，

又∵A'C'＝B'C'，∴Rt△A'C'E≌Rt△B'C'D（HL），∴EC'＝DC'，

∴C'在第四象限的角平分线上，∴C的运动轨迹是线段AC，∴C的运动路径长为4；故答案为4；

9.如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？

【答案】

【解析】将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F，取的中点H，连接FH、HB、BD，如图所示：

由题意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90º，

∵∠FDB＝45º＝∠FHB，∴点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线，

∴∠HFG＝∠HCF＝15º，∴∠FHG＝150º，∴∠CHB＝120º，∴，

∴点D的运动路径长度为.